穩定多項式

Template:No footnotes Template:Refimprove 在探討微分方程或是差分方程的Template:Le時，多項式若滿足任一個性質，即稱為穩定：

• 所有的根都在左半平面开集內。
• 所有的根都在单位圆盘开集內。

第一個條件是連續時間線性系統的穩定條件，第二個條件則是離散時間線性系統的穩定性條件。若符合第一個條件的多項式稱為赫爾維茨多項式，第一個條件的多項式則是Template:Le。穩定多項式常出現在控制理论中，也應用在微分方程及差分方程的數學理論中。線性时不变系统（參照线性时不变系统理论）為BIBO穩定的條件是所有有界輸入的輸出都是有界。若線性系統的特徵方程為穩定多項式，系統則為BIBO穩定系統。若是連續時間系統，其分母需為赫爾維茨多項式，若是離散時間系統，其分母需為舒爾多項式。實務上，可以透過一些稳定性判据來判斷穩定性。

性質

• Template:Le提供了判斷多項式是否為赫爾維茨穩定的演算法，是用劳斯–赫尔维茨稳定性判据及林纳德–奇帕特判据來實現。
• 若要測試某多項式P（次數為d）是否為舒爾穩定，將上述定理用在以下轉換後的多項式中

$Q(z)=(z-1{)}^{d}P\left(\frac{z+1}{z-1}\right)$

是在莫比乌斯变换 $z\mapsto \frac{z+1}{z-1}$後的結果，將左半平面映射到開集的單位圓內。P為舒爾穩定，若且唯若Q為赫爾維茨穩定而且$P(1)\ne 0$。針對高次的多項式可以用其他的測驗方式（例如Schur-Cohn測試、Template:Le或是Template:Le）來判定，可以避免映射上的複雜計算。

• 必要條件：（實係數的）赫爾維茨穩定多項式其係數符號都相同（均為正數或是均為負數）。
• 充份條件：（實係數的）多項式$f(z)=a_0+a_{1}z+\cdots +a_n{z}^n$若滿足以下條件：:$a_n>a_{n-1}>\cdots >a_0>0,$

則多項式為舒爾穩定。

• 乘積律：二個（同樣考慮赫爾維茨穩定或舒爾穩定）多項式f及g都穩定的充份必要條件為其乘積fg穩定。

例子

• $4z^3+3z^2+2z+1$為舒爾穩定，因為滿足充份條件。
• $z^{10}$為舒爾穩定（因為所有的根都為零），但不滿足充份條件。
• $z^2-z-2$不是赫爾維茨穩定（其根為-1,2），因為其違反了必要條件。
• $z^2+3z+2$是赫爾維茨穩定（其根為-1,-2）。
• 多项式 $z^4+z^3+z^2+z+1$（都是正係數），既不是赫爾維茨穩定，也不是舒爾穩定，其根為5次单位根中的4個原根

$z_k=\cos \left(\frac{2\pi k}{5}\right)+i\sin \left(\frac{2\pi k}{5}\right),k=1,\dots ,4.$

注意

$\cos (2\pi /5)=\frac{\sqrt{5}-1}{4}>0.$

這是舒爾穩定的臨界情形，因為根恰好在單位圓上，也看到上述的赫爾維茨穩定條件（根均為正）只是必要條件，不是充份條件。

外部連結

• Mathworld page Template:Wayback

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