拉比判别法

Template:TA Template:ScienceNavigation 拉比判別法（Template:Lang-en）是判斷一個實級數收歛的方法。在判断比几何级数收敛得慢的级数时，比柯西判别法、达朗贝尔判别法更有效。

定理

对任意级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

• 如果存在 $r>1$ ，$n_0\in {\mathbb{N}}^{*}$ ,使得当 $n>n_0$ 时，有

$n(\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|-1)\ge r$，

那么级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$绝对收敛。

• 如果对充分大的 $n$ ，有

$n(\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|-1)\le 1$，

那么级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$发散。

极限形式

对任意级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ ，令

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n(\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|-1)=r,$

• $r>1$ 时级数绝对收敛
• $r<1$ 时說明级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n|$ 发散(沒有絕對收斂)，原級數 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ 可能收斂也可能發散。
• $r=1$ 时级数可能收敛也可能发散

证明

• 当 $r>1$ 时，存在 $p$ 使得 $r>p>1$. 则:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n(\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|-1)=r>p=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n({(1+\frac{1}{n})}^p-1)$

$\Rightarrow n(\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|-1)>n({(1+\frac{1}{n})}^p-1)$ 对充分大的 $n$

$\Rightarrow \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|>\frac{(n+1{)}^p}{n^p}$

$\Rightarrow \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<\frac{\frac{1}{(n+1{)}^p}}{\frac{1}{n^p}}$

因为当 $p>1$ 时级数 $\sum n^{-p}$ 收敛，故级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left|a_n\right|$ 在 $r>1$ 时收敛，即级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ 绝对收敛。

• 当 $r<1$ 时，有

$n(\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|-1)\le 1,$，则

$\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\le 1+\frac{1}{n}=\frac{n+1}{n}$，即

$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\ge \frac{n}{n+1}=\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}$

由于 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$ 发散，故 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ 发散。

例子

当 $r=1$ 时无法判断其敛散性，举例如下:

已知有

$\frac{n+1}{n}(\frac{\ln (n+1)}{\ln n}{)}^{\alpha }=1+\frac{1}{n}+\frac{\alpha }{n\ln n}+o(\frac{1}{n\ln n})$

令 $a_n=\frac{1}{n(\ln n{)}^{\alpha }}$

已知当 $\alpha >1$ 时，$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}{a}_n<+\mathrm{\infty }$ ；当 $\alpha \le 1$ 时，$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=\mathrm{\infty }$ ，然而由上式得

$n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)=1+\frac{\alpha }{\ln n}+o(\frac{1}{\ln n})\to 1(n\to \mathrm{\infty })$

这说明当 $r=1$ 时，拉比判别法无效。