反正割

Template:函數 反正割（Template:Lang-en、記為：$\mathrm{arcsec}$或${\sec }^{-1}$）是一種反三角函數，對應的三角函數為正割函數，用來計算已知斜邊與鄰邊的比值求出其夾角大小的函數，是高等數學中的一種基本特殊函數，其輸入值與反餘弦互為倒數。

由於正割函數在實數上不具有一一對應的關係，所以不存在反函數，但我們可以限制其定義域，因此，反正割是單射也是可逆的，由於限制正割函數的定義域在$[0,\pi ]$（[0, 180°]）时，其值域是全體實數，但在區間$[-1,1]$不存在。

符號

反正割一般記為${\sec }^{-1}z$或$\mathrm{arcsec}z$，以表示正割的反函數。也有以大寫書寫的版本Arcsec z和Sec^-1 z一般用於表示多值函數。在符號${\sec }^{-1}z$上的上標-1是表示反函數，而不是乘法逆元素。但根據ISO 31-11應將反正切函數記為$\mathrm{arcsec}z$，因為${\sec }^{-1}$可能會與$\frac{1}{\sec }$混淆，$\frac{1}{\sec }$是餘弦函數。

定義

原始的定義是將正割函數限制在$[0,\pi ]$（[0, 180°]）的反函數
在複變分析中，反正割是這樣定義的：

$\mathrm{arcsec}x=-\mathrm{i}\ln (\frac{1}{x}+\sqrt{1-\frac{\mathrm{i}}{x^2}})$

這個動作使反正割被推廣到複數。

下圖表示推廣到複數的反正割複數平面函數圖形，可以見到圖中央有一條明顯的橫線正好是實數中未被定義的區間[-1,1]。

拓展到複數的反正割函數

直角三角形中

在直角三角形中，反正割定義為已知斜邊c與鄰邊b比值對應的$\mathrm{\angle }A$的大小，也就是：

${\sec }^{-1}\frac{\mathrm{H}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}}{\mathrm{A}\mathrm{d}\mathrm{j}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}}=\theta$

• 
  直角三角形，C為直角，對於角A而言，a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊
• 
  直角三角形，已知斜邊斜邊為x且鄰邊為單位長

此外在直角三角形中，若已知斜邊為$x$且鄰邊為單位長，$x$代入反正割可求得對應的角的大小：

${\sec }^{-1}x=\mathrm{arcsec}x=\theta$

因此，根據畢氏定理可以使反正割利用其他反三角函數表示：

$\sin (\mathrm{arcsec}x)=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}$

$\cos (\mathrm{arcsec}x)=\frac{1}{x}$

$\tan (\mathrm{arcsec}x)=\sqrt{x^2-1}$

直角坐標系中

若$\alpha$是平面直角坐标系xOy中的一個未知的象限角，$P\left(x,y\right)$是角的终边上一点，$r=\sqrt{x^2+y^2}>0$是P到原点O的距离，若已知$\frac{r}{x}$，則可利用反正割求得未知的象限角$\alpha$：

${\sec }^{-1}\frac{r}{x}=\mathrm{arcsec}\frac{r}{x}=\alpha$

級數定義

反正割函數可以使用無窮級數定義：

$\begin{array}{cc}\mathrm{arcsec}z& =\arccos \left(\frac{1}{z}\right)\\ & =\frac{\pi }{2}-[z^{-1}+\left(\frac{1}{2}\right)\frac{z^{-3}}{3}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{z^{-5}}{5}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{z^{-7}}{7}+\cdots ]\\ & =\frac{\pi }{2}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left[\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right]\frac{z^{-(2n+1)}}{(2n+1)};\left|z\right|\ge 1\end{array}$

反正割函數的泰勒展開式為：

$\mathrm{arcsec}x=\frac{\pi }{2}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n-1)!!}{(2n+1)(2n)!!}{x}^{-2n-1}=\frac{\pi }{2}-\frac{1}{x}-\frac{1}{6x^3}-\frac{3}{40x^5}-\frac{5}{112x^7}-\cdots$

參見

• 反餘弦
• 正割
• 餘弦

參考文獻

外部連結

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