线性代数基本定理

线性代数基本定理是秩为 r 的 m×n 矩阵A的奇异值分解:

$A=U\mathrm{\Sigma }{V}^T$

对于矩阵$A\in {𝐑}^{m\times n}$ ($A$有$m$行及$n$列)产生了四个基本线性子空间:

子空间名字	定义	包含于	维数	基
列空间、值域或像	$\mathrm{i}\mathrm{m}(A)$ 或 $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{e}(A)$	${𝐑}^m$	$r$	$𝐔$ 的前 $r$ 列
左零空间或上核	$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(A^T)$ 或 $\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{l}(A^T)$	${𝐑}^m$	$m-r$	$𝐔$ 的后 $m-r$ 列
行空间或余象	$\mathrm{i}\mathrm{m}(A^T)$ 或 $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{e}(A^T)$	${𝐑}^n$	$r$	$𝐕$ 的前 $r$ 列
零空间或核	$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(A)$ 或 $\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{l}(A)$	${𝐑}^n$	$n-r$	$𝐕$ 的后 $n-r$ 列

Secondly:

1. In ${𝐑}^n$, $\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(A)=(\mathrm{i}\mathrm{m}(A^T){)}^{\perp }$, 也就是, 零空间与行空间的正交补相同.
2. In ${𝐑}^m$, $\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(A^T)=(\mathrm{i}\mathrm{m}(A){)}^{\perp }$, 也就是, 左零空间为列空间的正交补.

矩阵A的四个基本子空间.

子空间的维数遵从秩-零化度定理.

进一步, 所有这些空间本质地定义于– 不必考虑基的选择 – 抽象向量空间, 算子, 对偶空间$A:V\to W$ 与$A^{*}:W^{*}\to V^{*}$: $A^{*}$的核与像是$A$的上核与余象.

参见

• 秩－零化度定理
• 闭值域定理

参考文献

• Strang, Gilbert. Linear Algebra and Its Applications. 3rd ed. Orlando: Saunders, 1988.
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外部链接

• Template:Aut, MIT Linear Algebra Lecture on the Four Fundamental Subspaces Template:Wayback, from MIT OpenCourseWare