交错代数

在抽象代数中，交错代数（Template:Lang-en）是乘法不满足结合性，仅满足交错性的代数。也就是说，我们有：

• $x(xy)=(xx)y$
• $(yx)x=y(xx)$

对于所有代数中的x和y。每一个结合代数都显然是交错的，但有些严格的非结合代数，例如八元数，也是交错的。另一方面，十六元数则不是交错的。

结合子

交错代数之所以这样命名，是因为它们正好是结合子交错的代数。结合子是一个三线性映射，由下式给出：

$[x,y,z]=(xy)z-x(yz)$

根据定义，一个多线性映射是交错的，如果只要两个自变量相等，映射便为零。一个代数的左交错和右交错恒等式等价于：

$[x,x,y]=0$

$[y,x,x]=0.$

两个恒等式在一起，便意味着结合子是完全斜对称的。也就是说：

$[x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},x_{\sigma (3)}]=\mathrm{sgn}(\sigma )[x_1,x_2,x_3]$

对于任何置换σ。于是可以推出：

$[x,y,x]=0$

对于所有的x和y。这等价于所谓的柔性恒等式：

$(xy)x=x(yx).$

因此结合子是交错的。反过来，任何一个结合子交错的代数显然是交错代数。根据对称性，任何一个代数，只要满足以下三个恒等式中的两个：

• 左交错恒等式：$x(xy)=(xx)y$
• 右交错恒等式：$(yx)x=y(xx)$
• 柔性恒等式：$(xy)x=x(yx).$

这个代数便是交错的，因此三个恒等式都满足。

一个交错的结合子总是完全斜对称的。反过来也成立，只要基域的特征不是2。

性质

阿廷定理说明，在交错代数中，由任何两个元素生成的子代数是结合的。反过来，任何满足这个条件的代数显然是交错的。于是可以推出，在交错代数中，只含有两个变量的表达式可以不用括号写出，而又没有歧义。阿廷定理的一个推广说明，如果交错代数中的三个元素$x,y,z$是结合的（也就是说，$[x,y,z]=0$），那么由这些元素所生成的子代数是结合的。

阿廷定理的一个推论是，交错代数都是幂结合的，也就是说，由一个元素所生成的子代数是结合的。反过来不一定成立：十六元数是幂结合的，但不是交错的。

穆方恒等式

• $a(x(ay))=(axa)y$
• $((xa)y)a=x(aya)$
• $(ax)(ya)=a(xy)a$

在任何交错代数中都成立。

在一个单式交错代数中，如果乘法逆存在，那么它一定是唯一的。更进一步，对于任何可逆的元素$x$和所有的$y$，都有：

$y=x^{-1}(xy).$

这等于是说，对于所有这类的$x$和$y$，结合子$[x^{-1},x,y]$都是零。如果$x$和$y$是可逆的，那么$xy$也是可逆的，其乘法逆为$(xy{)}^{-1}=y^{-1}{x}^{-1}$。因此，所有可逆的元素所组成的集合在乘法运算下封闭，并形成了一个穆方圈。在交错环或代数中，这个单位元素圈与结合环或代数中的单位元素群是类似的。

应用

任何交错的除环上的射影平面都是穆方平面。

参考文献

• Template:Cite book