貝爾級數

貝爾級數是數論上一種研究算術函數的工具。它是形式幂级数。

給定算術函數f和質數p，f模p的貝爾級數為 $f_p(x)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}f(p^n)x^n$

• 唯一定理：對於任意質數p，若兩個積性函數模p的貝爾級數都相等，則這兩個函數是相等的。
• 對於兩個算術函數的狄利克雷卷積，有$(f*g{)}_p(x)=f_p(x)\times g_p(x)$。
• 一個完全積性函數的貝爾級數為幾何級數：$f_p(x)=\frac{1}{1-f(p)x}$。

例子

以下是一些常见的算术函数的贝尔级数。

• 默比乌斯函数$\mu$的${\mu }_p(x)=1-x.$
• 欧拉函数$\varphi$的${\varphi }_p(x)=\frac{1-x}{1-px}.$
• 刘维尔函数$\lambda$的${\lambda }_p(x)=\frac{1}{1+x}.$
• 因子函数${\sigma }_k$的$({\sigma }_k{)}_p(x)=\frac{1}{1-{\sigma }_k(p)x+p^k{x}^2}.$

參考

• Introduction to Analytic Number theory, Tom M. Apostol