依賴選擇公理

在數學上，依賴選擇公理（$𝖣𝖢$，英語：Axiom of dependent choice）是選擇公理（$𝖠𝖢$）較弱的版本，但依賴選擇公理依舊足以發展實分析絕大多數的內容。依賴選擇公理最早由Template:Link-en於1942年一篇討論哪些集合論公理對發展數學分析是必要的文章中引入。

正式描述

若一個$X$上的Template:Link-en$R$被稱作Template:Link-en，則對於所有的$a\in X,$而言，皆存在有一個$b\in X$，使得$aRb$成立。

依賴選擇公理的表述如下： 對於任意非空集合$X$及任意$X$上的全關係$R$而言，皆存在有一個$X$上的序列$(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$，使得以下陳述成立：

對於任意的$n\in \mathbb{N}.$而言，$x_{n}R{x}_{n+1}$

若限制上述的$X$為所有實數的集合，那相關公理可表記為${𝖣𝖢}_{ℝ}.$

應用

即使在沒有這條公理的狀況下，對於任意的$n$，依舊可用一般的數學歸納法造出如此序列的最前面$n$項；而依賴選擇公理說的是我們可用此種方式造出整個（可數無限的）序列。

$𝖣𝖢$這條公理是$𝖠𝖢$的片斷，而在「必須於每一步都做出選擇」且「一些選擇無法在不仰賴先前選擇的情形下獨立做出」的狀況下證明「存在有可以可數長度的超限遞歸建構的序」列時，這條公理是必須的。

等價陳述

在策梅洛-弗蘭克爾集合論$𝖹𝖥$的框架下，$𝖣𝖢$等同於完備度量空間上的貝爾綱定理。

在$𝖹𝖥$的框架下，這公理也等價於勒文海姆–斯科倫定理。

$𝖣𝖢$在$𝖹𝖥$的框架下也與「所有有$\omega$層且Template:Link-en都有Template:Link-en」這陳述等價。

不僅如此，$𝖣𝖢$也與弱化版的佐恩引裡等價；特別地，$𝖣𝖢$與「任何使得所有良序鏈都有限且有界的偏序，都必然有極大元素」這敘述等價。

$𝖣𝖢⟺$ 所有有ω層且剪枝過的樹都有分支的證明

$(⟸)$設$R$是$X$上的完整二元關係（entire binary relation），那麼此處的策略是定義一棵$X$上有限序列的樹$T$，而這棵樹的鄰近元素滿足$R$這關係。在這種狀況下，$T$的其中一個分支是鄰近元素滿足$R$這關係的無限序列。我們先從定義「若對於$0\le k<n.$而言，$x_{k}R{x}_{k+1}$，則$⟨x_0,\dots ,x_n⟩\in T$」開始，由於$R$是完整二元關係之故，因此$T$是一棵具有$\omega$層且剪枝過的樹，因此$T$有$⟨x_0,\dots ,x_n,\dots ⟩.$這分支，因此對於所有的$n\ge 0:$而言，$⟨x_0,\dots ,x_n,x_{n+1}⟩\in T,$，而這蘊含了$x_{n}R{x}_{n+1}.$，因此$𝖣𝖢$為真。 $(⟹)$ 設$T$是一棵位於$X$上具有$\omega$層的剪枝過的樹，那麼此處的策略是定義$T$上的二元關係$R$，而這關係使得$𝖣𝖢$導出$t_n=⟨x_0,\dots ,x_{f(n)}⟩$這樣的序列，而在這序列中，$t_{n}R{t}_{n+1}$且$f(n)$是一個嚴格遞增函數；而在這種狀況下，無窮序列$⟨x_0,\dots ,x_k,\dots ⟩$是一個分支。（要證明這點，只需要對$f(n)=m+n.$進行證明）我們先定義「若$u$是$v$的始序列（initial subsequence），且$\mathrm{length}(u)>0,$且$\mathrm{length}(v)=$ $\mathrm{length}(u)+1.$，則$uRv$」開始，由於$T$是一棵具有$\omega$層的剪枝過的樹枝故，所以$R$是個完整關係；因此$𝖣𝖢$蘊含說存在有無限序列$t_n$使得$t_{n}R{t}_{n+1}$，因此對於一些$m\ge 0.$而言，$t_0=⟨x_0,\dots ,x_m⟩$。設$x_{m+n}$$t_n.$的最終元素，那麼$t_n=⟨x_0,\dots ,x_m,\dots ,x_{m+n}⟩.$。對於所有的$k\ge 0,$而言$⟨x_0,\dots ,x_k⟩$這序列屬於$T$。由於這是$t_0(k\le m)$的的始序列，或者是一個$t_n(k\ge m)$之故，因此$⟨x_0,\dots ,x_k,\dots ⟩$是一個分支。

與其他公理的關係

和完整版的$𝖠𝖢$不同的是，$𝖣𝖢$在$𝖹𝖥$的框架下，不足以證明說有些實數集是不可測集，也不足以證明有些實數集合不具有貝爾性質或Template:Link-en；而由於梭羅維模型滿足$𝖹𝖥+𝖣𝖢$，且在此模型中所有的實數集合都是勒貝格可測集、都具有貝爾性質和完美集性質之故，因此這說法成立。

依賴選擇公理蘊含可數選擇公理，且嚴格強於可數選擇公理。

參考資料

• Template:Cite book