等M圓及等N圓

藍色的是開迴路傳遞函數$G(s)=1/(s+0.5)$的奈奎斯特圖，上面也放了等M圓及等N圓。M = 0.45的等M圓以紅色表示，和奈奎斯特圖相交於$\omega \approx \pm 1.64$的頻率

等M圓及等N圓（M-circles and N-circles）英文也稱為是Hall circles，是控制理论中利用開迴路傳遞函數的奈奎斯特圖（或尼柯尔斯图）來求得其閉迴路傳遞函數數值的繪圖工具。此作法最早是由Albert C. Hall在其控制理論的論文中提出。

建構方式

考慮閉迴路線性控制系統，其開迴路傳遞函數為$G(s)$，反饋路徑的增益為1。其閉迴路傳遞函數為$T(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)}$。

若要確認T(s)的穩定性，可以用開迴路傳遞函數G(s)的奈奎斯特圖配合奈奎斯特稳定判据來確認。不過若只靠奈奎斯特圖，無法知道T(s)的數值。為了要在G(s)平面上得到這些資訊，Hall在G(s)平面加上了使T(s)有固定大小以及有固定相位的二組曲線。

假設一正值M表示固定的大小，令G(s)為z，滿足$$M=|T(s)|=\frac{|G(s)|}{|1+G(s)|}=\frac{|z|}{|1+z|}$$的點是那些在G(s)平面上和0的距離以及和-1的距離比例為M倍的點。這些符合條件的點z的軌跡為Template:Link-en，在控制系統中稱為等M圖。

若假設一正值N表示相位角，滿足$$N=\arg \left[\frac{G(s)}{1+G(s)}\right]=\arg [G(s)]-\arg [1+G(s)]=\arg [z]-\arg [1+z]$$的點。滿足此條件的點z的軌跡為圓弧，在控制系統中稱為等N圖。

用法

傳遞函數1/s(1+s)(1+2s)的尼柯尔斯图，以及調整後的等M圓及等N圓

若要使用此方法，會在開迴路傳遞函數的奈奎斯特圖上重疊不同數值的等M圓及等N圓，根據傳遞函數和等M圓及等N圓的交點即知道閉迴路傳遞函數的大小及相位。

等M圓及等N圓也可以和尼柯尔斯图一起使用，不過等M圓及等N圓會進行坐標轉換，其縱軸會是$20{\log }_{10}(|G(s)|)$，橫軸是$\arg (G(s))$。尼柯尔斯图的好處是調整開迴路傳遞函數時，只要將曲線往上移即可。

相關條目

• 奈奎斯特圖
• 尼柯尔斯图

參考資料

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