查看“︁Z轉換”︁的源代码

{{noteTA
|G1=Math
|G2=Signals and Systems
}}
{{傅里叶变换}}
{{about||统计学中的标准Z-分数|標準分數|统计学中的Fisher Z-转换|费雪转换}}

在[[數學]]和[[信号处理]]中，'''Z轉換'''（{{lang-en|Z-transform}}）把[[離散訊號|離散]]的[[實數]]或[[复数 (数学)|複數]]时间訊號從[[時域]]轉為[[頻域|复頻域]]（z域或z平面）表示。

可以把它认为是[[拉普拉斯变换]]的离散时间等价。在[[时标微积分]]中会探索它们的相似性。

== 历史 ==
现在所知的Z变换的基本思想，[[皮埃尔-西蒙·拉普拉斯|拉普拉斯]]就已了解，而1947年{{le|维托尔德·胡列维茨|Witold Hurewicz|W. Hurewicz}}用作求解常系数[[差分方程]]的一种容易处理的方式。<ref>{{cite book  | title = Time sequence analysis in geophysics  | edition = 3rd  | author = E. R. Kanasewich  | publisher = University of Alberta  | year = 1981  | isbn = 978-0-88864-074-1  | pages = 185–186  | url = http://books.google.com/books?id=k8SSLy-FYagC&pg=PA185}}</ref> 后来由1952年哥伦比亚大学的采样控制组的{{維基數據鏈接|Q740408}}和[[盧菲特·澤德|查德]]称其为“Z变换”。<ref>{{cite journal  | journal = Trans. Am. Inst. Elec. Eng.  | title = The analysis of sampled-data systems  | author = J. R. Ragazzini and L. A. Zadeh  | volume = 71  | issue = II  | publisher =  | pages = 225–234  | year = 1952 }}</ref><ref>{{cite book  | title = Digital control systems implementation and computational techniques  | edition =  | author = Cornelius T. Leondes  | publisher = Academic Press  | year = 1996| isbn = 978-0-12-012779-5  | page = 123  | url = http://books.google.com/books?id=aQbk3uidEJoC&pg=PA123  }}</ref>

{{維基數據鏈接|Q740408}}后来发展并推广了改进或[[高级Z变换]]。<ref>
{{cite book
 | title = Sampled-Data Control Systems
 | url = https://archive.org/details/sampleddatacontr00jury
 | author = Eliahu Ibrahim Jury
 | publisher = John Wiley & Sons
 | year = 1958
 }}</ref><ref>
{{cite book
 | title = Theory and Application of the Z-Transform Method
 | author = Eliahu Ibrahim Jury
 | publisher = Krieger Pub Co
 | year = 1973
 | isbn = 0-88275-122-0
 }}</ref>

Z变换中包含的思想在数学里称作[[母函数]]方法，该方法可以追溯到1730年的时候，[[亞伯拉罕·棣莫弗|棣莫弗]]与概率论结合将其引入。<ref>
{{cite book
 | title = Theory and Application of the Z-Transform Method
 | author = Eliahu Ibrahim Jury
 | publisher = John Wiley & Sons
 | year = 1964
 | page = 1
 }}</ref>
从数学的角度，当把数字序列视为解析函数的（洛朗）展开时，Z变换也可以看成是[[洛朗级数]]。

== 定義 ==
像很多[[积分变换]]一样，Z变换可以有单边和双边定义。

=== 双边Z变换 ===
''双边''Z轉換把离散時域信号<math>x[n]</math>轉為[[形式幂级数]]<math>X(z)</math>。

:<math>X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n} </math>

當中 <math>n</math> 是整數，<math>z</math> 是複數变量，其表示方式為
:<math>z = A e^{j\phi} = A(\cos{\phi}+j\sin{\phi})\,</math>
其中 ''A'' 为 ''z'' 的模，''j'' 为[[虚数单位]]，而 ɸ 为''[[辐角]]''（也叫''相位角''），用[[弧度]]表示。

=== 单边Z变换 ===
另外，只对 ''n'' ≥ 0 定义的 ''x[n]''，''单边''Z变换定义为

:<math>X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} =  \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}.</math>

在[[信号处理]]中，这个定义可以用来计算离散时间[[因果系统]]的[[有限脉冲响应|单位冲激响应]]。

单边Z变换的一个重要例子是[[概率母函数]]，其中 ''x[n]'' 部分是离散随机变量取 ''n'' 值时的概率，而函数 ''X(z)'' 通常写作 ''X(s)''，用 ''s'' = ''z''<sup>−1</sup> 表示。Z变换的性质（在下面）在概率论背景下有很多有用的解释。

===地球物理学定义===
地球物理中的Z变换，通常的定义是 ''z'' 的幂级数而非 ''z''<sup>−1</sup> 的。例如，{{維基數據鏈接|Q102443451}}<ref name=robinson/>和{{維基數據鏈接|Q112388807}}都使用这个惯例。<ref name=kanasewich/>地球物理定义为：

:<math>X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} =  \sum_{n} x[n] z^{n}.</math>

这两个定义是等价的；但差分结果会有一些不同。例如，零点和[[极点 (复分析)|极点]]的位置移动在[[单位圆]]内使用一个定义，在单位圆外用另一个定义。<ref name=robinson>
{{cite book
 | title = Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing
 | author = Enders A. Robinson, Sven Treitel
 | publisher = SEG Books
 | year = 2008
 | isbn = 9781560801481
 | pages = 163, 375–376
 | url = http://books.google.com/books?id=IH-Pu3PlJgAC&pg=PA375&dq=%22all+the+poles+lie+outside+the+unit+circle%22&hl=en&sa=X&ei=jQDcUo24MM7eoASQ-IHADQ&ved=0CC8Q6AEwAA#v=onepage&q=%22all%20the%20poles%20lie%20outside%20the%20unit%20circle%22&f=false
 }}</ref><ref name=kanasewich>
{{cite book
 | title = Time Sequence Analysis in Geophysics
 | author = E. R. Kanasewich
 | publisher = University of Alberta
 | year = 1981
 | isbn = 9780888640741
 | pages = 186, 249
 | url = http://books.google.com/books?id=k8SSLy-FYagC&pg=PA249&dq=inauthor:Kanasewich++poles+stability&hl=en&sa=X&ei=igLcUqeXFMmxoQTxzIHoAg&ved=0CC8Q6AEwAA#v=onepage&q=inauthor%3AKanasewich%20%20poles%20stability&f=false
 }}</ref>
因此，需要注意特定作者使用的定义。

==逆Z变换==
''逆''Z变换为

:<math> x[n] = \mathcal{Z}^{-1} \{X(z) \}= \frac{1}{2 \pi j} \oint_{C} X(z) z^{n-1} dz</math>

其中 ''C'' 是完全处于[[收敛半径|收敛域]]（ROC）内的包围原点的一个逆时针闭合路径。在 ROC 是因果的情况下（参见[[#例2（因果的收敛域）|例2]]），这意味着路径 ''C'' 必须包围 ''X(z)'' 的所有极点。

这个[[曲线积分]]的一个特殊情形出现在 ''C'' 是单位圆的时候（可以在ROC包含单位圆的时候使用，总能保证 ''X(z)'' 是稳定的，即所有极点都在单位圆内）。逆Z变换可以化简为[[离散时间傅里叶变换|逆离散傅里叶变换]]：

:<math> x[n] = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{+\pi}  X(e^{j \omega}) e^{j \omega n} d \omega.</math>

有限范围 ''n'' 和有限数量的均匀间隔的 ''z'' 值的Z变换可以用[[Chirp-Z轉換|Bluestein的FFT算法]]方便地计算。[[离散时间傅里叶变换]] (DTFT)—不要与[[离散傅里叶变换]]（DFT）混淆—是通过将 ''z'' 限制在位于单位圆上而得到的一种Z变换的特殊情况。

==收敛域==
[[收敛半径|收敛域]]（ROC）是指Z变换的求和收敛的复平面上的点集。

:<math>ROC = \left\{ z : \left|\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}\right| < \infty \right\} </math>

=== 例1（收敛域不存在） ===
令 <math>x[n] = (0.5)^n</math>。在区间 <math>(-\infty, \infty)</math>上展开 ''<math>x[n]</math>'' 成为

:<math>x[n] = \left \{\cdots, 0.5^{-3}, 0.5^{-2}, 0.5^{-1}, 1, 0.5, 0.5^2, 0.5^3, \cdots \right \} = \left \{\cdots, 2^3, 2^2, 2, 1, 0.5, 0.5^2, 0.5^3, \cdots \right\}.</math>

观察上面的和

:<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} \to \infty.</math>

因此，没有一个 ''<math>z</math>'' 值可以满足这个条件。

=== 例2（因果的收敛域） ===
[[Image:Region of convergence 0.5 causal.svg|thumb|250px|ROC用蓝色表示，单位圆用灰色虚点圆表示（外圈者，而 &#124;''z''&#124;&nbsp;=&nbsp;0.5 这个圆用虚线圆表示（內圈者）]]

令 <math>x[n] = 0.5^n u[n]\ </math>（其中 ''u'' 是[[单位阶跃函数]]）。在区间 (−∞, ∞) 上展开 ''x[n]'' 得到

:<math>x[n] = \left \{\cdots, 0, 0, 0, 1, 0.5, 0.5^2, 0.5^3, \cdots \right \}.</math>

观察这个和

:<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty}0.5^nz^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{0.5}{z}\right)^n = \frac{1}{1 - 0.5z^{-1}}.</math>

最后一个等式来自无穷[[等比数列|几何级数]]，而等式仅在 |0.5''z''<sup>−1</sup>| < 1 时成立，可以以 ''z'' 为变量写成 |''z''| > 0.5。因此，收敛域为 |''z''| > 0.5。在这种情况下，收敛域为复平面“挖掉”原点为中心的半径为 0.5 的圆盘。{{clear}}

=== 例3（非因果的收敛域） ===
[[Image:Region of convergence 0.5 anticausal.svg|thumb|250px|ROC用蓝色表示，单位圆用灰色虚点圆表示（用眼睛看会呈红色），而 &#124;''z''&#124;&nbsp;=&nbsp;0.5 这个圆用虚线圆表示]]

令 <math>x[n] = -(0.5)^n u[-n-1]\ </math>（其中 ''u'' 是[[单位阶跃函数]]）。在区间 (−∞, ∞) 上展开 ''x[n]'' 得到

:<math>x[n] = \left \{ \cdots, -(0.5)^{-3}, -(0.5)^{-2}, -(0.5)^{-1}, 0, 0, 0, 0, \cdots \right \}.</math>

观察这个和

:<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} = -\sum_{n=-\infty}^{-1}0.5^nz^{-n} = -\sum_{m=1}^{\infty}\left(\frac{z}{0.5}\right)^{m} = 1-\frac{1}{1 - 0.5^{-1}z} =\frac{1}{1 - 0.5z^{-1}}</math>

再次使用无穷[[等比数列|几何级数]]，此等式只在 |0.5<sup>−1</sup>''z''| < 1 时成立，可以用 ''z'' 为变量写成 |''z''| < 0.5。因此，收敛域为 |''z''| < 0.5。在这种情况下，收敛域为中心在原点的半径为 0.5 的圆盘。

本例与上例的不同之处仅在收敛域上。这是意图展示只有变换结果是不够的。
{{clear}}

===实例结论===
实例2和3清楚地表明，当且仅当指定收敛域时，<math>x[n]</math> 的Z变换 ''X(z)'' 才是唯一的。画因果和非因果情形的{{le|零极点图|pole–zero plot}}表明，在这两种情况下收敛域都不包含极点位于 0.5 的情形。这可以拓展到多个极点的情形：收敛域''永远不会''包含极点。

在例2中，因果系统产生一个包含 |''z''| = ∞ 的收敛域，而例3中的非因果系统产生包含 <math>|z| = 0</math> 的收敛域。

[[Image:Region of convergence 0.5 0.75 mixed-causal.svg|thumb|250px|ROC表示为蓝色圆环 0.5&nbsp;<&nbsp;&#124;''z''&#124;&nbsp;<&nbsp;0.75]]
在有多个极点的系统中，收敛域可以既不包含 |''z''| = ∞ 也不包含 |''z''| = 0。画出的收敛域与一个圆形带。例如，

:<math>x[n] = 0.5^nu[n] - 0.75^nu[-n-1]</math>

的极点为 0.5 与 0.75。收敛域会是 0.5 < |''z''| < 0.75，不包含原点和无穷大。这样的系统称为混合因果系统，因为它包含一个因果项 (0.5)<sup>''n''</sup>''u''[''n''] 和一个非因果项 &minus;(0.75)<sup>''n''</sup>''u''[&minus;''n''&minus;1]。

一个系统的[[控制理论#稳定性|稳定性]]可以只通过了解收敛域来确定。如果收敛域包含单位圆（即 |''z''| = 1），那么系统是稳定的。在上述系统中因果系统（例2）是稳定的，因为 |''z''| > 0.5 包含单位圆。

如果我们有一个没有给定收敛域Z变换（即模糊的 <math>x[n]</math>），则可以确定一个唯一的 <math>x[n]</math> 满足下列：
* 稳定性
* 因果性

如果要求满足稳定性，则收敛域必须包含单位圆；如果要求为一个因果系统，则收敛域必须包含无穷大，并且系统函数应为一个右边序列。如果要求为一个非因果系统，那么收敛域必须包含原点，且系统函数为左边序列。如果既要满足稳定性，也要满足因果性，则系统函数的所有极点都必须在单位圆内。

通过这种方法可以找到唯一的 ''<math>x[n]</math>''。

== 性质 ==
{| class="wikitable"
 |+ '''Z变换性质'''
 !
     ! 时域
    ! Z域
    ! 证明
     ! 收敛域
 |-
 ! 记法
    | <math>x[n]=\mathcal{Z}^{-1}\{X(z)\}</math>
    | <math>X(z)=\mathcal{Z}\{x[n]\}</math>
    |
    |<math>r_2<|z|<r_1</math>
 |-
 ! [[線性關係|線性]]
    | <math>a_1 x_1[n] + a_2 x_2[n]</math>
    | <math>a_1 X_1(z) + a_2 X_2(z)</math>
    | <math>\begin{align}X(z) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} (a_1x_1(n)+a_2x_2(n))z^{-n} \\
         &= a_1\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_1(n)z^{-n} + a_2\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_2(n)z^{-n} \\
         &= a_1X_1(z) + a_2X_2(z) \end{align} </math>
    | 包含 ROC<sub>1</sub> ∩ ROC<sub>2</sub>
 |-
 ! [[升採樣|时间膨胀]]
    | <math>x_K[n] = \begin{cases} x[r], & n = rK \\ 0, & n \not= rK \end{cases}</math>
''r'': 整数
    | <math>X(z^K)</math>
    | <math>\begin{align} X_K(z) &=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_K(n)z^{-n} \\
&= \sum_{r=-\infty}^{\infty}x(r)z^{-rK}\\
&= \sum_{r=-\infty}^{\infty}x(r)(z^{K})^{-r}\\
&= X(z^{K}) \end{align}</math>
    | <math>R^{\frac{1}{K}}</math>
 |-
 ! [[降采样]]
    | <math>x[nK]</math>
    | <math>\frac{1}{K} \sum_{p=0}^{K-1} X\left(z^{\tfrac{1}{K}} \cdot e^{-i \tfrac{2\pi}{K} p}\right)</math>
    | [http://www2.ece.ohio-state.edu/~schniter/ee700/handouts/multirate.pdf ohio-state.edu] {{Wayback|url=http://www2.ece.ohio-state.edu/~schniter/ee700/handouts/multirate.pdf |date=20200131212000 }}&nbsp; 或 &nbsp;[http://www.ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/courses/DSPDF/01100_Multirate.pdf ee.ic.ac.uk] {{Wayback|url=http://www.ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/courses/DSPDF/01100_Multirate.pdf |date=20210506183720 }}
    |
 |-
 ! 时移
    | <math>x[n-k]</math>
    | <math>z^{-k}X(z)</math>
    | <math>\begin{align} Z\{x[n-k]\} &= \sum_{n=0}^{\infty} x[n-k]z^{-n}\\
&= \sum_{j=-k}^{\infty} x[j]z^{-(j+k)}&& j = n-k \\
&= \sum_{j=-k}^{\infty} x[j]z^{-j}z^{-k} \\
&= z^{-k}\sum_{j=-k}^{\infty}x[j]z^{-j}\\
&= z^{-k}\sum_{j=0}^{\infty}x[j]z^{-j} && x[\beta] = 0,  \beta < 0\\
&= z^{-k}X(z)\end{align} </math>
    | ROC，除了 ''k'' > 0 时 ''z'' = 0 和 ''k'' < 0 时 {{nowrap|1=''z'' = ∞}}
 |-
 ! Z域的

尺度性质
    | <math>a^n x[n]</math>
    | <math>X(a^{-1}z)</math>
    | <math>\begin{align}\mathcal{Z} \left \{a^n x[n] \right \} &=  \sum_{n=-\infty}^{\infty} a^{n}x(n)z^{-n} \\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)(a^{-1}z)^{-n} \\
&= X(a^{-1}z)
\end{align} </math>
    | <math>|a|r_2 < |z|< |a|r_1</math>
 |-
 ! 时间反转
    | <math>x[-n]</math>
    | <math>X(z^{-1})</math>
    | <math>\begin{align} \mathcal{Z}\{x(-n)\} &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(-n)z^{-n} \\
&= \sum_{m=-\infty}^{\infty} x(m)z^{m}\\
&= \sum_{m=-\infty}^{\infty} x(m){(z^{-1})}^{-m}\\
&= X(z^{-1}) \\
\end{align} </math>
    | <math>\tfrac{1}{r_1}<|z|<\tfrac{1}{r_2}</math>
 |-
 ! [[共轭复数]]
    | <math>x^*[n]</math>
    | <math>X^*(z^*)</math>
    | <math>\begin{align} \mathcal{Z} \{x^*(n)\} &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x^*(n)z^{-n}\\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left [x(n)(z^*)^{-n} \right ]^*\\
&= \left [ \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)(z^*)^{-n}\right ]^*\\
&= X^*(z^*)
\end{align} </math>
    |
 |-
 ! [[复数 (数学)|实部]]
    | <math>\operatorname{Re}\{x[n]\}</math>
    | <math>\tfrac{1}{2}\left[X(z)+X^*(z^*) \right]</math>
    |
    |
 |-
 ! [[复数 (数学)|虚部]]
    | <math>\operatorname{Im}\{x[n]\}</math>
    | <math>\tfrac{1}{2j}\left[X(z)-X^*(z^*) \right]</math>
    |
    |
 |-
 ! 微分
    | <math>nx[n]</math>
    | <math> -z \frac{dX(z)}{dz}</math>
    | <math>\begin{align} \mathcal{Z}\{nx(n)\} &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} nx(n)z^{-n}\\
&= z \sum_{n=-\infty}^{\infty} nx(n)z^{-n-1}\\
&= -z \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)(-nz^{-n-1})\\
&= -z \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\frac{d}{dz}(z^{-n}) \\
&= -z \frac{dX(z)}{dz}
\end{align} </math>
    |
 |-
 ! [[卷积]]
    | <math>x_1[n] * x_2[n]</math>
    | <math>X_1(z)X_2(z)</math>
    | <math>\begin{align} \mathcal{Z}\{x_1(n)*x_2(n)\} &= \mathcal{Z} \left \{\sum_{l=-\infty}^{\infty} x_1(l)x_2(n-l) \right \} \\
                                   &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left [\sum_{l=-\infty}^{\infty} x_1(l)x_2(n-l) \right ]z^{-n}\\
                                   &=\sum_{l=-\infty}^{\infty} x_1(l) \left [\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_2(n-l)z^{-n} \right ]\\
                                   &= \left [\sum_{l=-\infty}^{\infty} x_1(l)z^{-l} \right ] \! \!\left [\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_2(n)z^{-n} \right ] \\
                                   &=X_1(z)X_2(z)
\end{align} </math>
    | 包含 ROC<sub>1</sub> ∩ ROC<sub>2</sub>
 |-
 ! [[互相关]]
    | <math>r_{x_1,x_2}=x_1^*[-n] * x_2[n]</math>
    | <math>R_{x_1,x_2}(z)=X_1^*(\tfrac{1}{z^*})X_2(z)</math>
    |
    | 包含 <math>X_1(\tfrac{1}{z^*})</math> 与 <math>X_2(z)</math> 的ROC的交集
 |-
 ! 一阶差分
    |  <math>x[n] - x[n-1]</math>
    | <math> (1-z^{-1})X(z)</math>
    |
    | 包含 ''X<sub>1</sub>(z)'' 与 ''z'' ≠ 0 的ROC的交集
 |-
 ! 累积
    |<math>\sum_{k=-\infty}^{n} x[k]</math>
    |<math> \frac{1}{1-z^{-1} }X(z)</math>
    |<math>\begin{align}
\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{k=-\infty}^{n} x[k] z^{-n}&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(x[n]+\cdots + x[-\infty])z^{-n}\\
        &=X[z] \left (1+z^{-1}+z^{-2}+\cdots \right )\\
        &=X[z] \sum_{j=0}^{\infty}z^{-j} \\
        &=X[z] \frac{1}{1-z^{-1}}\end{align}</math>
    |
 |-
 ! [[乘法]]
    |  <math>x_1[n]x_2[n]</math>
    | <math>\frac{1}{j2\pi}\oint_C X_1(v)X_2(\tfrac{z}{v})v^{-1}\mathrm{d}v</math>
    |
    | At least <math>r_{1l}r_{2l}<|z|<r_{1u}r_{2u}</math> |-
|}

'''[[帕塞瓦尔定理]]'''
:<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_1[n]x^*_2[n] \quad = \quad \frac{1}{j2\pi}\oint_C X_1(v)X^*_2(\tfrac{1}{v^*})v^{-1}\mathrm{d}v</math>

'''[[初值定理]]'''：如果 ''x''[''n''] 为因果的，那么
:<math>x[0]=\lim_{z\to \infty}X(z).</math>

'''[[终值定理]]'''：如果 (''z''−1)''X''(''z'') 的极点在单位圆内，则
:<math>x[\infty]=\lim_{z\to 1}(z-1)X(z).</math>

==常见的Z变换对表==
这里：

:<math>u : n \mapsto u[n] = \begin{cases} 1, & n \ge 0 \\ 0, & n < 0 \end{cases}</math>

是[[单位阶跃函数]]而

:<math>\delta : n \mapsto \delta[n] = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0 \end{cases}</math>

是[[狄拉克δ函数|离散时间单位冲激函数]]。两者通常都不认为是真正的函数，但由于它们的不连续性把它们看成是分布（它们在 ''n'' = 0 处的值通常无关紧要，除非在处理离散时间的时候，它们会变成衰减离散级数；在本章节中对连续和离散时间域，都在 ''n'' = 0 处取 1，否则不能使用下表中收敛域一栏的内容）。同时列出两个“函数”，使得（在连续时间域）单位阶跃函数是单位冲激函数的[[积分]]，或（在离散时间域）单位阶跃函数是单位冲激函数的求和，因此要令他们的值在 ''n'' = 0 处为 1。

{| class="wikitable"
|-
! !! 信号，<math>x[n]</math> !! Z变换，<math>X(z)</math> !! ROC
|-
|  1 || <math>\delta[n]</math> || 1 || 所有 ''z''
|-
|  2 || <math>\delta[n-n_0]</math> || <math> z^{-n_0}</math> || <math> z \neq 0</math>
|-
|  3 || <math>u[n] \,</math> || <math> \frac{1}{1-z^{-1} }</math> || <math>|z| > 1</math>
|-
| 4  ||<math>e^{-\alpha n} u[n]  </math> || <math>  1 \over 1-e^{-\alpha  }z^{-1}</math> || <math>  |z| >  e^{-\alpha} \,</math>
|-
|  5 ||<math>  -u[-n-1]</math> ||  <math> \frac{1}{1 - z^{-1}}</math> ||<math>|z| < 1</math>
|-
|  6 ||<math> n u[n]</math> || <math> \frac{z^{-1}}{( 1-z^{-1} )^2}</math> || <math>|z| > 1</math>
|-
|  7 ||<math> - n u[-n-1] \,</math> || <math> \frac{z^{-1} }{ (1 - z^{-1})^2 }</math> ||<math> |z| < 1</math>
|-
|  8 ||<math>n^2 u[n]</math> || <math>  \frac{ z^{-1} (1 + z^{-1} )}{(1 - z^{-1})^3} </math> || <math>|z| > 1\,</math>
|-
|  9 ||<math> - n^2 u[-n - 1] \,</math> || <math>  \frac{ z^{-1} (1 + z^{-1} )}{(1 - z^{-1})^3} </math> || <math>|z| < 1\,</math>
|-
|  10 ||<math>n^3 u[n]</math> || <math> \frac{z^{-1} (1 + 4 z^{-1} + z^{-2} )}{(1-z^{-1})^4} </math> || <math>|z| > 1\,</math>
|-
| 11 ||<math>- n^3 u[-n -1]</math> || <math> \frac{z^{-1} (1 + 4 z^{-1} + z^{-2} )}{(1-z^{-1})^4} </math> || <math>|z| < 1\,</math>
|-
| 12 ||<math>a^n u[n]</math> ||  <math> \frac{1}{1-a z^{-1}}</math> ||<math> |z| > |a|</math>
|-
| 13 ||<math>-a^n u[-n-1]</math> ||  <math> \frac{1}{1-a z^{-1}}</math> ||<math>|z| < |a|</math>
|-
| 14 ||<math>n a^n u[n]</math> ||  <math> \frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }</math> || <math>|z| > |a|</math>
|-
| 15 ||<math>-n a^n u[-n-1]</math> || <math> \frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }</math> ||<math> |z| < |a|</math>
|-
| 16 ||<math>n^2 a^n u[n]</math> || <math> \frac{a z^{-1} (1 + a z^{-1}) }{(1-a z^{-1})^3} </math> || <math>|z| > |a|</math>
|-
| 17 ||<math>- n^2 a^n u[-n -1]</math> || <math> \frac{a z^{-1} (1 + a z^{-1}) }{(1-a z^{-1})^3} </math> || <math>|z| < |a|</math>
|-
| 18 ||<math>\cos(\omega_0 n) u[n]</math> || <math> \frac{ 1-z^{-1} \cos(\omega_0)}{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2}}</math> ||<math> |z| >1</math>
|-
| 19 ||<math>\sin(\omega_0 n) u[n]</math> || <math> \frac{ z^{-1} \sin(\omega_0)}{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }</math> ||<math> |z| >1</math>
|-
| 20 ||<math>a^n \cos(\omega_0 n) u[n]</math>||<math>\frac{1-a z^{-1} \cos( \omega_0)}{1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2}}</math>||<math>|z|>|a|</math>
|-
| 21 ||<math>a^n \sin(\omega_0 n) u[n]</math>||<math> \frac{ az^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }</math> ||<math>|z|>|a|</math>
|}

==与傅里叶级数和傅里叶变换的关系==
对于区域 |z|=1（称为[[单位圆]]）内的 z 值，我们可以通过定义 z=e<sup>jω</sup> 来用单一实变量的函数来表示该变换。于是双边变换就简化为了[[傅里叶级数]]：

{{NumBlk|:|<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\ z^{-n} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\ e^{-j\omega n},</math>|{{EquationRef|Eq.1}}}}

也被称作 x[n] 序列的[[离散时间傅里叶变换]]（DTFT）。这个以 2π 为周期的函数是[[傅里叶变换]]的{{le|周期性求和|periodic summation}}，这使得它成为广泛使用的分析工具。要理解这一点，令 X(f) 为任意函数 x(t) 的傅里叶变换，该函数以某个间隔 T 采样就与 x[n] 序列相等。于是 x[n] 序列的DTFT可以写作：

:<math>\underbrace{
\sum_{n=-\infty}^{\infty} \overbrace{x(nT)}^{x[n]}\ e^{-j 2\pi f nT}
}_{\text{DTFT}} = \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty} X(f-k/T).</math>

若T的單位是秒，<math>\textstyle f</math>的單位即為[[赫兹]]。比較兩個數列可得&nbsp;<math>\textstyle \omega = 2\pi fT</math>&nbsp;為{{link-en|标准化频率|Normalized frequency (digital signal processing)#Alternative normalizations}}，單位是radians per sample。數值ω=2π對應<math>\textstyle f = \frac{1}{T}</math> Hz.&nbsp;，而且在替換&nbsp;<math>\textstyle f = \frac{\omega }{2\pi T},</math>後，&nbsp; {{EquationNote|Eq.1}}可以表示為傅里叶变换X(•)''':'''

:<math>
\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\ e^{-j\omega n} = \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty} \underbrace{X\left(\tfrac{\omega}{2\pi T} - \tfrac{k}{T}\right)}_{X\left(\frac{\omega - 2\pi k}{2\pi T}\right)}.
</math>

若數列x(nT)表示[[线性时不变系统理论|线性时不变系统]]的[[冲激响应]]，這些函數也稱為[[频率响应]]，當x(nT)是週期性數列，其[[离散时间傅里叶变换|DTFT]]在一或多個共振頻率發散，在其他頻率均為零。這一般會用在共振頻率，振幅可變的[[狄拉克δ函数]]表示。因為其週期性，只會有有限個振幅，可以用較簡單許多的[[离散傅里叶变换]]來計算。（參照[[離散傅立葉變換#周期性]]）

==和拉氏变換的關係==

===双线性变换===
[[双线性变换]]可以用在連續時間濾波器（用拉氏域表示）和離散時間濾波器（用Z域表示）之間的轉換，其轉換關係如下：

:<math>s =\frac{2}{T} \frac{(z-1)}{(z+1)}</math>

將一個拉氏域的函數<math>H(s)</math>轉換為Z域下的<math>H(z)</math>，或是

:<math>z =\frac{2+sT}{2-sT}</math>

從Z域轉換到拉氏域。藉由双线性变换，複數的s平面（拉氏变換）可以映射到複數的z平面（Z轉換）。這個轉換是非線性的，可以將S平面的整個''j''Ω軸映射到Z平面的[[单位圆]]內。因此，傅立葉變換（在''j''Ω axis計算的拉氏變換）變成離散時間傅立葉變換，前提是假設其傅立葉變換存在，也就是拉氏变換的收斂區域包括''j''Ω軸。<!--未翻译内容

=== Starred transform ===
{{Main|Starred transform}}
Given a one-sided Z-transform, X(z), of a time-sampled function, the corresponding '''starred transform''' produces a Laplace transform and restores the dependence on sampling parameter, T''':'''

:<math>\bigg. X^*(s) = X(z)\bigg|_{\displaystyle z = e^{sT}}</math>

The inverse Laplace transform is a mathematical abstraction known as an ''impulse-sampled'' function.-->

==线性常系数差分方程==
线性常系数差分（LCCD）方程是基于[[ARMA模型|自回归滑动平均]]的线性系统表达形式。

:<math>\sum_{p=0}^{N}y[n-p]\alpha_{p} = \sum_{q=0}^{M}x[n-q]\beta_{q}</math>

上面等式两边可以同时除以 α<sub>0</sub>，如果非零，正规化 α<sub>0</sub> = 1，LCCD方程可以写成

:<math>y[n] = \sum_{q=0}^{M}x[n-q]\beta_{q} - \sum_{p=1}^{N}y[n-p]\alpha_{p}.</math>

LCCD方程的这种形式有利于更加明确“当前”输出 ''y[n]'' 是过去输出 ''y[n−p]''、当前输入 ''x[n]'' 与之前输入 ''x[n−q]'' 的一个函数。

===传递函数===
对上述方程去Z变换（使用线性和时移法则）得到

:<math>Y(z) \sum_{p=0}^{N}z^{-p}\alpha_{p} = X(z) \sum_{q=0}^{M}z^{-q}\beta_{q}</math>

整理结果

:<math>H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\sum_{q=0}^{M}z^{-q}\beta_{q}}{\sum_{p=0}^{N}z^{-p}\alpha_{p}} = \frac{\beta_0 + z^{-1} \beta_1 + z^{-2} \beta_2 + \cdots + z^{-M} \beta_M}{\alpha_0 + z^{-1} \alpha_1 + z^{-2} \alpha_2 + \cdots + z^{-N} \alpha_N}.</math>

===零点和极点===
由[[代数基本定理]]得知[[分數|分子]]有 ''M'' 个[[根 (数学)|根]]（对应于 H 的[[零点]]）和[[分數|分母]]有 N 个根（对应于[[极点 (复分析)|极点]]）。用极点和零点重新整理[[传递函数]]为

:<math>H(z) = \frac{(1 - q_1 z^{-1})(1 - q_2 z^{-1})\cdots(1 - q_M z^{-1}) } { (1 - p_1 z^{-1})(1 - p_2 z^{-1})\cdots(1 - p_N z^{-1})}</math>

其中 ''q<sub>k</sub>'' 为 ''k'' 阶零点，''p<sub>k</sub>'' 为 ''k'' 阶极点。零点和极点通常是复数，当在复平面（z平面）作图时称为{{le|零极点图|pole–zero plot}}。

此外，在 ''z'' = 0 和 ''z'' = ∞ 也可能存在零点和极点。如果我们把这些极点和零点以及高阶零点和极点考虑在内的話，零点和极点的数目总会相等。

通过对分母因式分解，可以使用[[部分分式分解]]可以转换回时域。这样做会导出系统的[[冲激响应]]和线性常系数差分方程。

===输出响应===
如果一个系统 ''H(z)'' 由信号 ''X(z)'' 驱动，那么输出为 ''Y(z)'' = ''H(z)X(z)''。通过对 ''Y(z)'' [[部分分式分解]]并取逆Z变换可以得到输出 ''y[n]''。在实际运用中，在分式分解 <math>\frac{Y(z)}{z}</math> 之后再乘 ''z'' 产生 ''Y(z)'' 的一个形式（含有很容易计算逆Z变换的项）往往很有用。

==参见==
* [[高级Z变换]]
* [[双线性变换]]
* [[差分方程]]（遞迴關係式）
* [[卷积|离散卷积]]
* [[离散时间傅里叶变换]]
* [[有限脉冲响应]]
* [[形式幂级数]]
* [[拉普拉斯变换]]
* [[洛朗级数]]
* [[概率母函数]]
* [[星标变换]]
* {{le|Zak变换|Zak transform}}
* {{le|ζ函数正规化|Zeta function regularization}}

==参考文献==
{{reflist}}

==延伸阅读==
* Refaat El Attar, ''Lecture notes on Z-Transform'', Lulu Press, Morrisville NC, 2005. ISBN 978-1-4116-1979-1.
* Ogata, Katsuhiko, ''Discrete Time Control Systems 2nd Ed'', Prentice-Hall Inc, 1995, 1987. ISBN 978-0-13-034281-2.
* Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer (1999). Discrete-Time Signal Processing, 2nd Edition, Prentice Hall Signal Processing Series. ISBN 978-0-13-754920-7.

==外部链接==
* {{springer|title=Z-transform|id=p/z130010}}
* [http://www.swarthmore.edu/NatSci/echeeve1/Ref/LPSA/LaplaceZTable/LaplaceZFuncTable.html Z-Transform table of some common Laplace transforms] {{Wayback|url=http://www.swarthmore.edu/NatSci/echeeve1/Ref/LPSA/LaplaceZTable/LaplaceZFuncTable.html |date=20110502052019 }}
* [http://mathworld.wolfram.com/Z-Transform.html Mathworld's entry on the Z-transform] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/Z-Transform.html |date=20130130223318 }}
* [http://www.dsprelated.com/comp.dsp/keyword/Z_Transform.php Z-Transform threads in Comp.DSP] {{Wayback|url=http://www.dsprelated.com/comp.dsp/keyword/Z_Transform.php |date=20120615051141 }}
* [https://web.archive.org/web/20061209230944/http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/ZTransformIntroMod.html Z-Transform Module by John H. Mathews]
* [http://www.youtube.com/watch?v=4PV6ikgBShw A graphic of the relationship between Laplace transform s-plane to Z-plane of the Z transform] {{Wayback|url=http://www.youtube.com/watch?v=4PV6ikgBShw |date=20160410040815 }}

{{DSP}}
{{自動控制}}

[[Category:数字信号处理|Z]]
[[Category:變換]]