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'''Verma模'''（Verma module）是[[李代數]][[表示理論]]中的基本研究對象，其名取自[[Daya-Nand Verma]]。Verma模之間的態射相應於[[旗流形]]上的[[不變微分算子]]。

可用Verma模來證明以下命題：[[最高權]]為<math>\lambda</math>的[[最高權表示]]的維數有限，若且僅若<math>\lambda</math>是[[支配整權]]（{{lang|en|dominant integral weight}}）。

== Verma模的定義 ==
設：
*<math>F</math>為一域；
* <math>\mathfrak{g}</math>，為<math>F</math>上一[[半單李代數]]；
**<math>\mathcal{U}(\mathfrak{g})</math>為其[[泛包絡代數]]
** <math>\mathfrak{b}</math>為其一[[Borel子代數]]
***<math>\mathcal{U}(\mathfrak{b})</math>為其泛包絡代數
** <math>\mathfrak{h}</math>為其一[[嘉當子代數]]
* <math>\lambda \in \mathfrak{h}^*</math>為一固定之[[權 (表示論)|權]]。
* <math>F_\lambda</math>為<math>F</math>上的一維向量空間， 賦與<math>\mathfrak{b}</math>-[[模]]結構：<math>\mathfrak{h}</math>的作用為「乘以<math>\lambda</math>」，[[根系統|正根]]的作用為零。由於<math>F_\lambda</math>是一左<math>\mathfrak{b}</math>－模，他同時亦是一左<math>\mathcal{U}(\mathfrak{b})</math>－模。
*由[[Poincaré-Birkhoff-Witt定理]]，<math>\mathcal{U}(\mathfrak{g})</math>有一自然右<math>\mathcal{U}(\mathfrak{b})</math>－模結構。由於<math>\mathcal{U}(\mathfrak{g})</math>亦是一左<math>\mathfrak{g}</math>－模， 所以是<math>(\mathfrak{g}, \mathcal{U}(\mathfrak{b}))</math>-[[雙模]]。
*定義（最高權為<math>\lambda</math>之）'''Verma模''' 為
: <math>M_\lambda = \mathcal{U}(\mathfrak{g}) \otimes_{\mathcal{U}(\mathfrak{b})} F_\lambda</math>
此自然地是一左<math>\mathfrak{g}</math>－模。從Poincaré-Birkhoff-Witt定理可知：<math>M_\lambda</math>，作為一向量空間，同構於
: <math>\mathcal{U}(\mathfrak{g}_-) \otimes_F F_\lambda</math>
其中<math>\mathfrak{g}_-</math>為<math>\mathfrak{g}</math>之負根生成之子李代數。

== 基本性質 ==
作為<math>\mathfrak{g}</math>－模，Verma模是一[[最高權表示]]，即整個模由一[[最高權向量]]生成。此最高權向量是<math>1\otimes 1</math>的像（其中前<math>1</math>為<math>\mathcal{U}(\mathfrak{g})</math>之單位，後<math>1</math>為域<math>F</math>之單位元）；其權為<math>\lambda</math>。

Verma模是[[weight modules]]，即<math>M_\lambda</math>是其[[權子空間]]之[[直和]]。每一權子空間<math>M_\mu</math>是有限維的，其維度是<math>M_\mu</math>權<math>\lambda-\mu</math>寫成[[正根]]之和之方法之數（參見[[Kostant partition function]]）。

Verma模有一重要性質：若<math>V</math>為任一最高權模，其最高權為<math>\lambda</math>，則存在一<math>\mathfrak{g}</math> [[滿射]]：<math>M_\lambda\to V</math>。換言之，任何最高權模都是<math>M_\lambda</math>的商模。

<math>M_\lambda</math>內存在唯一極大[[子模]]，而<math>M_\lambda</math>與此子模之商是[[表示論#不可約表示|不可約]]的。

Verma模<math>M_\lambda</math>本身不可約 若且僅若 當其[[最高權]]<math>\lambda</math>分解成[[權 (表示論)#基本權|基本權]]（{{link-en|fundamental weight|fundamental weight}}）之和時，每一系數都不是<math>\{0,1,2,\ldots\}</math>。

稱Verma模<math>M_\lambda</math>為'''regular'''，若其最高權λ位於一[[支配權]]<math>\tilde\lambda</math>之仿射[[Weyl軌迹]]上。換言之，存在[[Weyl羣]]的元素w，使
:<math>\lambda=w\cdot\tilde\lambda</math>，
其中<math>\cdot</math>是Weyl羣的[[仿射作用]]。

稱Verma模<math>M_\lambda</math>為'''singular'''，若λ的仿射軌迹上無支配權。此時，存在權<math>\tilde\lambda</math>使<math>\tilde\lambda+\delta</math>落於[[基本Weyl室]]之牆上；（其 中δ為各[[基本權]]之和）。

== Verma模之間的態射 ==

設<math>\lambda, \mu</math>為兩[[權]]。若存在態射
:<math>M_\mu\rightarrow M_\lambda</math>，

則<math>\mathfrak{g}</math>的[[Weyl羣]]<math>W</math>的
[[仿射作用]]<math>W</math>必然能把<math>\mu</math>帶到<math>\lambda</math>。此為[[Harish-Chandra無限小中心特徵標定理]]之一推論。

每一Verma模 態射都是單射。態射空間之[[維度]]
:<math>dim(Hom(M_\mu, M_\lambda))\leq 1</math>

其中<math>\mu, \lambda</math>為任何兩權。因此，存在一非零態射<math>M_\mu\rightarrow M_\lambda</math>若且僅若<math>M_\mu</math> [[同構]]於<math>M_\lambda</math>的一（唯一）子模。

Verma模態射的完整分類來自I.N.伯恩斯坦、I.M.蓋爾芳特 與S.I.蓋爾芳特 的工作<ref>Bernstein I.N., Gelfand I.M., Gelfand S.I., Structure of Representations that are generated by vectors of highest weight, Functional. Anal. Appl. 5 (1971)</ref>與N. Verma的工作<ref>Verma N., Structure of certain induced representations of complex semisimple Lie algebras}, Bull. Amer. Math. Soc. 74 (1968)</ref>。簡言之，

<blockquote>存在非零態射
<math>M_\mu\rightarrow M_\lambda</math>若且僅若 存在一串[[權 (表示論)|權]]
::<math>\mu=\nu_0\leq\nu_1\leq\ldots\leq\nu_k=\lambda</math>

使得存在正根<math>\gamma_i</math>使<math>\nu_{i-1}+\delta=s_{\gamma_i}(\nu_i+\delta)</math>（其中<math>s_{\gamma_i}</math>是[[根反映]]（[[根系 (数学)|根系]]），而<math>\delta</math>是所有[[基本權]]之和）且對每一<math>1\leq i\leq k</math>，<math>(\nu_i+\delta)(H_{\gamma_i})</math>為一自然數（其中<math>H_{\gamma_i}</math>是根<math>\gamma_i</math>之[[對偶根]]（{{link-en|coroot|coroot}}））。</blockquote>

若Verma模<math>M_\mu</math>與<math>M_\lambda</math>俱為[[Verma模#基本性質|regular]]，則僅存[[支配權]]<math>\tilde\lambda</math>與[[Weyl羣]]元''w'', ''w''′使

:P<math>\mu=w'\cdot\tilde\lambda</math>

而且

:<math>\lambda=w\cdot\tilde\lambda,</math>

其中<math>\cdot</math>為Weyl羣的[[仿射作用]]。設此等權是[[整權]]（{{link-en|integral weight|integral weight}}）。存在非零態射

:<math>M_\mu\to M_\lambda</math>

若且僅若，在Weyl羣''W'' 的[[Bruhat次序]]中，

:<math>w \leq  w'</math>。

== Jordan-Holder序列 ==

設
:<math>0\subset A\subset B\subset M_\lambda</math>
為一<math>\mathfrak{g}</math>－模序列，其中B/A為不可約表示，其[[最高權為]]μ。則存在非零態射<math>M_\mu\to M_\lambda</math>。

推論：
設<math>V_\mu, V_\lambda</math>為二[[最高權表示]]。若
:<math>V_\mu\subset V_\lambda</math>
則存在非零態射<math>M_\mu\to M_\lambda</math>。

== 伯恩斯坦-蓋爾芳特-蓋爾芳特 分解 ==

設<math>V_\lambda</math>為[[李代數]]<math>\mathfrak{g}</math>的一有限維[[不可約表示]]，其[[最高權]]為λ。我们已知：存在非零態射

:<math>M_{w'\cdot\lambda}\to M_{w\cdot\lambda}</math>

若且僅若，在其[[Weyl羣]]的[[Bruhat次序]]中，

:<math>w\leq w'</math>。

以下定理描述如何分解<math>V_\lambda</math>成Verma模的正合序列。
（此定理出現於 伯恩斯坦-蓋爾芳特-蓋爾芳特1975年的論文<ref>Bernstein I.N., Gelfand I.M., Gelfand S.I., Differential Operators on the Base Affine Space and a Study of g-Modules, Lie Groups and Their Representations, I. M. Gelfand, Ed., Adam Hilger, London, 1975.}</ref>）:

<blockquote>
存在由<math>\mathfrak{g}</math>－態射組成的正合序列
:<math>0\to \oplus_{w\in W,\,\, l(w)=n} M_{w\cdot \lambda}\to \ldots \to \oplus_{w\in W,\,\, l(w)=2} M_{w\cdot \lambda}\to \oplus_{w\in W,\,\, l(w)=1} M_{w\cdot \lambda}\to M_\lambda\to V_\lambda\to 0</math>
其中''n''為Weyl羣最長元之長度。
</blockquote>

一般研究員簡稱其為「BGG分解」。
[[廣義Verma模]]亦有類似分解。

近來有人研究此等分解之某些特例，以助理解[[拋物幾何]]（{{link-en|parabolic geometries|parabolic geometries}}，[[嘉當幾何]]之特例）上之[[不變微分算子]]。嘉當幾何的定義依賴於一李羣''G''與其拋物子羣''P''。參閲<ref>Eastwood M., Variations on the de Rham complex, Notices Amer. Math. Soc, 1999 - ams.org </ref>、<ref>Calderbank D.M., Diemer T., Differential invariants and curved Bernstein-Gelfand-Gelfand sequences, Arxiv preprint math.DG/0001158, 2000 - arxiv.org</ref>與<ref>Cap A., Slovak J., Soucek V., Bernstein-Gelfand-Gelfand sequences, Arxiv preprint math.DG/0001164, 2000 - arxiv.org </ref>。

== 參攷 ==

*Knapp, A. W. Lie Groups Beyond an troduction. Second Edition. (2002), page 285.
*Dixmier, J., Enveloping Algebras, North-Holland, Amsterdam, New York, Oxford, 1977
*Humphreys J., Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer Verlag, 1980
*Roggenkamp K., Stefanescu M., Algebra - Representation Theory, Springer, 2002

=== 註解 ===
<references/>

== 參見 ==

* [[李代數表示論]]
* [[泛包絡代數]]
* [[廣義Verma模]]
* [[最高權表示]]

{{planetmath|urlid=vermamodule|title=Verma module}}

[[Category:李代數表示論]]