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{{NoteTA|1=zh-hant:複阻抗;zh-hans:复阻抗;|2=zh-hant:複頻率;zh-hans:复频率;}}
{{线性模拟电子滤波器|filter1=hide|filter2=hide}}
'''RL电路'''，全称'''电阻-电感电路'''（{{lang-en|Resistor-inductor circuit}}），或称'''RL滤波器'''、'''RL网络'''，是最简单的[[无限脉冲响应滤波器|无限脉冲响应]][[电子滤波器]]。它由一个[[电阻器]]、一个[[电感元件]][[串联]]或[[并联]]组成，并由[[电压源]]驱动。<ref name="textbook">{{cite book|publisher=高等教育出版社|author=童诗白、华成英 主编|title=模拟电子技术基础（第四版）|year=2006|url=https://archive.org/details/monidianzijishuj0001unse|isbn=978-7-04-018922-3}}</ref>

==  概论 ==
最基本的[[被动元件|被动]]线性元件为[[电阻器]]（R）、[[电容器]]（C）和[[电感元件]]（L）。这些元件可以被用来组成4种不同的电路：[[RC电路]]、RL电路、[[LC电路]]和[[RLC电路]]，这些名称都缘于各自所使用元件的英语缩写。它们体现了一些对于模拟电子技术来说很重要的性质。它们都可以被用作被动滤波器。本条目主要讲述RL电路串联、并联状态的情况。

在实际应用中通常使用电容器（以及RC电路）而非电感来构成滤波电路。这是因为电容更容易制造，且元件的尺寸普遍更小。

== 复阻抗 ==
具有[[电感]]''L''（以[[亨利 (单位)|亨利]]为单位）的电感元件的复阻抗''Z''<sub>''L''</sub>（以[[欧姆]]为单位）为<ref name="new concept textbook">{{cite book|author=赵凯华，陈熙谋|title=新概念物理教材：电磁学（第二版）|publisher=高等教育出版社|isbn=978-7-04-020202-1}}</ref>：

:<math>Z_L \ = \ Ls </math>

复频率''s''是一个[[复数 (数学)|复数]]，

:<math>s \ = \ \sigma + j \omega  </math>

这里

* ''j''表示[[虚数单位]]:
:<math> j^2 = -1</math>

* <math>\sigma \ </math>为[[指数衰减]]常数（以[[每秒弧度]]为单位），且

* <math>\omega \ </math>为[[角频率]]（以每秒弧度为单位）

=== 示性函数 ===
复数函数[[本征函数|示性函数]]（{{lang|en|Eigenfunctions}}）对所有[[线性时不变系统理论|线性时不变系统]]（{{lang|en|linear time-invariant, LTI}}）有以下的形式：

:<math>V(t) \ = \ \mathbf{A}e^{st} \ = \ \mathbf{A}e^{(\sigma + j \omega) t}  \ </math>，若令<math> \mathbf{A} \ = \ A e^{j \phi}</math>，则可重写为<math>\ = \ A e^{j \phi}e^{(\sigma + j \omega) t} </math>，合并复数指数后得到<math> \ = \ A e^{\sigma t}e^{j ( \omega t + \phi )}</math>

通过复数的[[欧拉公式]]，示性函数的[[实部]]为指数衰减的正弦值：

:<math> v(t) \ = \ \mathrm{Re} \left \{ V(t)  \right \} \ = \ A e^{\sigma t} \cos(\omega t + \phi )</math>

=== 正弦稳定状态 ===
正弦稳定状态是当输入电压仅包含纯的正弦信号的特殊情况，即不存在指数衰减。因此<ref>{{cite journal|author=李兴毅，胡玉安|title=正弦交流电压激励下的RL电路瞬态响应的研究|journal=河南师范大学学报（自然科学版）|year=2006|volume=34|issue=2}}</ref>：

:<math> \sigma \ = \ 0 </math>

且''s''的值变为：

:<math>s \ = \  j \omega  </math>

== 串联 ==
[[File:Series-RL.svg|thumb|RL电路的串联形式]]
如果把整个RL电路看做一个按阻抗进行[[电压分配定则|分压]]<ref name="new concept textbook"/>的系统，则电感元件“分得”的电压为：

:<math>V_L(s) = \frac{Ls}{R+Ls}V_{in}(s)</math>

电阻器“分得”的电压为：

:<math>V_R(s) = \frac{R}{R+Ls}V_{in}(s)</math>.

=== 电流 ===
由于是串联电路，因此电路处处电流相等，且为：
:<math>I(s) = \frac{V_{in}(s)}{R + Ls}</math>.

=== 传递函数 ===
电感元件的[[传递函数]]为：

:<math> H_L(s) = { V_L(s) \over V_{in}(s) }   = { Ls \over R + Ls  }  =  G_L e^{j \phi_L} </math>

类似的，电阻器的传递函数为：

:<math> H_R(s) = { V_R(s) \over V_{in}(s) }   = { R \over R + Ls  }  =  G_R e^{j \phi_R}</math>

==== 极点和零点 ====
两个传输函数都有一个极点位于：

:<math> s = - {R \over L } </math>

另外，电感元件在[[原点]]处有一个[[零点]]。

=== 增益和相位 ===
通过代入上面的表达式，可以求得两个组件的增益为：

:<math>G_L =  | H_L(s) | = \left|\frac{V_L(s)}{V_{in}(s)}\right| = \frac{\omega L}{\sqrt{R^2 + \left(\omega L\right)^2}}</math>

且

:<math>G_R =  | H_R(s) | = \left|\frac{V_R(s)}{V_{in}(s)}\right| = \frac{R}{\sqrt{R^2 + \left(\omega L\right)^2}}</math>,

相位为：

:<math>\phi_L = \angle H_L(s)  =  \tan^{-1}\left(\frac{R}{\omega L}\right)</math>

且

:<math>\phi_R =  \angle H_R(s)  = \tan^{-1}\left(-\frac{\omega L}{R}\right)</math>.

=== 相量表示 ===
通常用[[相量]]代替上面的式子来表达输出<ref name="new concept textbook"/>：

:<math>V_L = G_{L}V_{in} e^{j \phi_L}</math>
:<math>V_R = G_{R}V_{in}e^{j \phi_R}</math>.

=== 脉冲响应 ===
每一种[[电压]]的[[冲激响应]]是对应传输函数的反[[拉普拉斯变换]]。它代表电路对于包含脉冲或[[狄拉克δ函数]]的输入电压的响应。

电感元件电压的响应为：

:<math> h_L(t) = \delta(t)- { R \over L} e^{-tR / L} u(t)   =  \delta(t) - { 1 \over \tau} e^{-t / \tau} u(t)  </math>

这里''u''(''t'')是[[单位阶跃函数]]且

:<math> \tau = { L \over R} </math>为[[时间常数]]。

类似的，电阻器电压的响应为：

:<math> h_R(t) =  {R \over L} e^{-tR / L} u(t)   =   { 1 \over \tau} e^{-t / \tau} u(t) </math>

=== 零输入响应 ===
RL电路的零输入响应（{{lang|en|Zero input response， ZIR}}）描述了电路在不连接输入信号源的情况下、达到稳定电压和电流时的工作状态。<ref>{{cite journal|author=谢国秋，蒋天|title=RL电路零输入响应的研究|journal=昆明大学学报|year=2001|volume=12|issue=2}}</ref>因为它没有外接输入信号，因此得名。

一个RL电路的零输入响应为：

:<math> i(t) = i(0)e^{-(R/L) t} = i(0)e^{-t/ \tau} \!\ </math>.

其中<math>\tau</math>是时间常数。

== 并联 ==
[[File:RL Parallel Filter (with I Labels).svg|thumb|RL电路的并联形式]]
除非连接到[[电流源]]，RL电路的并联形式很少引起人们的兴趣。这主要是因为输出电压<math>V_{out}</math>等于输入电压<math>V_{in}</math>，这样，整个电路并未能充当一个电压信号的滤波器。

复阻抗为：

:<math>I_R = \frac{V_{in}}{R}</math>
且
:<math>\,\!I_L = \frac{V_{in}}{j\omega L} = -\frac{jV_{in}}{\omega L}</math>.

这表明电感元件在相位上落后电阻器（以及输入信号）90度。

RL电路的并联形式经常在[[放大器电路]]的输出级上，使[[放大器]]与负载隔离。由于电容器引入的相移，有些放大器在高频的情况会变得不稳定，容易产生振荡。这会影响电器功能（例如[[高保真|音响]]的音效品质）和其使用寿命（特别是对[[晶体管]]来说），所以应当尽量避免。

== 参考文献 ==
{{reflist}}

== 相关条目 ==
* [[电子滤波器]]
* [[RC电路]]
* [[LC电路]]
* [[RLC电路]]

[[Category:电路分析|R]]