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{{DISPLAYTITLE:Powerful ''p''-群}}
在[[數學]]的[[群論]]中，特別在[[p-群|''p''-群]]和[[pro-p-group|pro-''p''-群]]的研究中，'''powerful ''p''-群'''是一個起著重要作用的概念。這個概念是在{{harv|Lubotzky|Mann|1987}}引入的，該文中並給出了幾個應用，包括[[Schur乘子]]的一些結果。powerful ''p''-群用於''p''-群的[[自同構]]研究{{harv|Khukhro|1998}}，[[受限制的Burnside問題]]的解答{{harv|Vaughan-Lee|1993}}，以coclass猜想作出的有限''p''-群分類{{harv|Leedham-Green|McKay|2002}}，及給出了很好的方法去理解解析pro-''p''-群 {{harv|Dixon|du Sautoy|Mann|Segal|1991}}。

==正式定義==
有限''p''-群<math>G</math>稱為'''powerful'''，於<math>p</math>為奇數時，若[[交換子子群]]<math>[G,G]</math>包含在子群<math>G^p = \langle g^p | g\in G\rangle</math>內，而於''p''=2時若<math>[G,G]</math>包含在子群<math>G^4</math>內。

==powerful ''p''-群的性質==
powerful ''p''-群有很多性質與[[阿貝爾群]]類似，所以可作為''p''-群研究的好的基礎。每個有限''p''-群可以表示為一個powerful ''p''-群的[[section (group theory)|section]]。

powerful ''p''-群也可用於研究[[pro-p group|pro-''p''群]]，因為powerful ''p''-群提供了簡單方法去描繪[[p-進數|''p''-進]]解析群（在''p''-進數上為[[流形]]的群）的特性：一個有限生成pro-''p''群是''p''-進解析的，當且僅當這個群包含一個powerful的[[開集|開]][[正規子群]]。這是[[Michel Lazard]](1965)一個深刻結果的特例。

一些與阿貝爾[[p-群|''p''-群]]相似的性質有：若<math>G</math>是powerful ''p''-群，則：
* <math>G</math>的[[Frattini子群]]<math>\Phi(G)</math>有性質<math>\Phi(G) = G^p</math>
* <math>G^{p^k} = \{g^{p^k}|g\in G\}</math>對所有<math>k\geq 1.</math>。就是以<math>p^k</math>次冪''生成的群''，正是<math>p^k</math>次冪的''集合''。
* 對所有<math>k\geq 1</math>，若<math>G = \langle g_1, \ldots, g_d\rangle</math>，則<math>G^{p^k} = \langle g_1^{p^k},\ldots,g_d^{p^k}\rangle</math>。
* 對所有<math>k\geq 1</math>，<math>G</math>的[[下中心序列]]的第''k''位有性質<math>\gamma_k(G)\leq G^{p^{k-1}}</math>。
* powerful ''p''-群的每個[[商群]]都powerful。
* <math>G</math>的[[Prüfer秩]]等於<math>G</math>的生成元的最小數目。

一些不太像阿貝爾群的性質有：若<math>G</math>是powerful ''p''-群，則
* <math>G^{p^k}</math>是powerful。
* <math>G</math>的子群不一定是powerful。

==參考==
* Lazard, Michel (1965), Groupes analytiques p-adiques, Publ.Math.IHES 26 (1965), 389-603.
* {{citation | id={{MathSciNet | id=1152800}} | last1=Dixon | first1=J. D. | last2=du Sautoy | first2=M. P. F. | author2-link=Marcus du Sautoy | last3=Mann | first3=A. | last4=Segal | first4=D. | title=Analytic pro-p-groups | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1991 | isbn=0-521-39580-1}}
* {{citation | id={{MathSciNet | id=1615819}} | last1=Khukhro | first1=E. I. | title=p-automorphisms of finite p-groups | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1998 | isbn=0-521-59717-X}}
*{{Citation | last1=Leedham-Green | first1=C. R. | author1-link=Charles Leedham-Green | last2=McKay | first2=Susan | title=The structure of groups of prime power order | publisher=[[Oxford University Press]] | series=London Mathematical Society Monographs. New Series | isbn=978-0-19-853548-5 | id={{MathSciNet | id = 1918951}} | year=2002 | volume=27}}
* {{citation | id={{MathSciNet | id=0873681}} | last1=Lubotzky | author1-link = Alexander Lubotzky | first1=Alexander | last2=Mann | first2=Avinoam | title=Powerful p-groups. I. Finite Groups | journal=J. Algebra | volume=105  | year=1987 | pages=484–505 | doi=10.1016/0021-8693(87)90211-0 | issue=2}}
* {{citation | id={{MathSciNet | id=1364414}} | last1=Vaughan-Lee | first1=Michael | title=The restricted Burnside problem | edition=2nd | publisher=[[Oxford University Press]] | year=1993 | isbn=0-19-853786-7 }}

[[Category:P-群]]
[[Category:群的性質]]