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在[[數論]]上，一個[[整數]]{{mvar|n}}的'''{{mvar|p}}進賦值'''指的是能[[整除|除盡]]{{mvar|n}}的[[質數]]{{mvar|p}}的最高次方，一般記做<math>\nu_p(n)</math>。一個等價的定義是，<math>\nu_p(n)</math>是{{mvar|n}}的質因數分解中{{mvar|p}}的次方數。

{{mvar|p}}進賦值是一個[[賦值]]，且其賦值可作為常規[[絕對值]]的類比。就如常規[[絕對值]]是[[有理數]]在[[實數]]<math>\mathbb{R}</math>中的[[完備空間|完備化]]一般，{{mvar|p}}進[[絕對值]]是[[有理數]]在[[P進數]]<math>\mathbb{Q}_p</math>.<ref>中的[[完備空間|完備化]]。{{cite book
 | first1= David S.|last1= Dummit
 |first2=Richard M. |last2=Foote
 | year = 2003
 | title = Abstract Algebra
 | edition = 3rd
 | publisher = Wiley
 | isbn = 0-471-43334-9
 | pages = 758–759
}}</ref>
[[Image:2adic12480.svg|thumb|right|200px|自然數在2進賦值中的分布，並加上十進位中的2的次方做標籤；0的賦值為無限。]]

==定義與性質==
以下假定{{mvar|p}}為[[質數]]。

===整數===
[[整數]]{{mvar|n}}的'''{{mvar|p}}進賦值'''定義如下：
:<math>
\nu_p(n)=
\begin{cases}
\mathrm{max}\{k \in \mathbb{N} : p^k \mid n\} & \text{if } n \neq 0\\
\infty & \text{if } n=0,
\end{cases}
</math>
其中<math>\mathbb{N}</math>是[[自然數]]的集合，而<math>m \mid n</math>代表<math>n</math>可被<math>m</math>[[整除]]。特別地，<math>\nu_p</math>的定義域及值域如次：<math>\nu_p \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{N} \cup\{\infty\} </math>.<ref>{{cite book|last1=Ireland |first1=K. |last2=Rosen |first2=M. |date=2000 |title=A Classical Introduction to Modern Number Theory |publisher=Springer-Verlag |location=New York |page=3}}</ref>

像例如說，<math>\nu_2(-12) = 2</math>, <math>\nu_3(-12) = 1</math>，而<math>\nu_5(-12) = 0</math> since <math>|{-12}| = 12 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^0</math>。

<math>p^k \parallel n</math>這符號有時用以表示<math>k = \nu_p(n)</math>。<ref>{{Cite book |last1=Niven |first1=Ivan |author1-link=Ivan M. Niven |last2=Zuckerman |first2=Herbert S. |last3=Montgomery |first3=Hugh L. |author3-link=Hugh Lowell Montgomery |title=An Introduction to the Theory of Numbers |url=https://archive.org/details/introductiontoth0000nive |date=1991 |publisher=[[John Wiley & Sons]] |edition=5th |isbn=0-471-62546-9 |page=[https://archive.org/details/introductiontoth0000nive/page/4 4]}}</ref>

若<math>n</math>是一個正整數，那麼有

:<math>\nu_p(n) \leq \log_p n</math>

而這可由<math>n \geq p^{\nu_p(n)}</math>直接推得。

===有理數===
{{mvar|p}}進賦值可以下述函數的形式延伸到[[有理數]]上：

:<math>\nu_p : \mathbb{Q} \to \mathbb{Z} \cup\{\infty\} </math><ref name="infty">再延伸的數線上，這帶有一般的序關係，也就是說
:<math>\infty > n</math>,
及算術關係
:<math>\infty + n = n + \infty = \infty</math></ref><ref>{{cite book|last1=Khrennikov |first1=A. |last2=Nilsson |first2=M. |date=2004 |title={{mvar|p}}-adic Deterministic and Random Dynamics |publisher=Kluwer Academic Publishers |page=9}}</ref>

其定義如下：
:<math>
\nu_p\left(\frac{r}{s}\right)=\nu_p(r)-\nu_p(s)
</math>

像例如說，<math>\nu_2 \bigl(\tfrac{9}{8}\bigr) = -3</math>且<math>\nu_3 \bigl(\tfrac{9}{8}\bigr) = 2</math>，而這是因為<math>\tfrac{9}{8} = 2^{-3}\cdot 3^2</math>之故。

有理數上的賦值其中一些性質如下：
 
:<math>\nu_p(r\cdot s) = \nu_p(r) + \nu_p(s)</math>
:<math>\nu_p(r+s) \geq \min\bigl\{ \nu_p(r), \nu_p(s)\bigr\}</math>

此外，若<math>\nu_p(r) \neq \nu_p(s)</math>，那麼

:<math>\nu_p(r+s)= \min\bigl\{ \nu_p(r), \nu_p(s)\bigr\}</math>

其中<math>\min</math>是最小值（也就是兩者中較小者）。

=={{mvar|p}}進絕對值==
{{anchor|p進範數}}

[[有理數]]集<math>\mathbb{Q}</math>的{{mvar|p}}進[[絕對值]]定義如下：
:<math>|\cdot|_p \colon \Q \to \R_{\ge 0} </math>
而其定義為
:<math>|r|_p = p^{-\nu_p(r)} .</math>

因此對所有的<math>p</math>而言，<math>|0|_p = p^{-\infty} = 0</math>；而一個{{mvar|p}}進絕對值的例子如次：<math>|{-12}|_2 = 2^{-2} = \tfrac{1}{4}</math> and <math>\bigl|\tfrac{9}{8}\bigr|_2 = 2^{-(-3)} = 8</math>

{{mvar|p}}進絕對值滿足下列性質：

:{| class="wikitable"
|-
|非負性 || <math>|r|_p \geq 0</math>
|-
|[[正定函數|正定性]] || <math>|r|_p = 0 \iff r = 0</math>
|-
|[[積性函數|積性]] || <math>|r s|_p = |r|_p|s|_p</math>
|-
|[[超度量空間|非阿基米德性]] || <math>|r+s|_p \leq \max\left(|r|_p, |s|_p\right)</math>
|}
由[[積性函數|積性]]<math>|r s|_p = |r|_p|s|_p</math>可知，對於[[單位根]]<math>1</math>和<math>-1</math>而言，<math>|1|_p=1=|-1|_p</math>，因此這表示說<math>|{-r}|_p = |r|_p</math>；而[[次可加性]]<math>|r+s|_p \leq |r|_p + |s|_p</math>可由[[超度量空間|非阿基米德]][[三角不等式]]<math>|r+s|_p \leq \max\left(|r|_p, |s|_p\right)</math>得出。

對<math>p^{-\nu_p(r)} </math>這個[[冪]]的基底{{mvar|p}}的選取不會影響其性質；然而有以下的性質：
:<math>\prod_{0, p} |r|_p = 1</math>
其中此乘積遍歷所有的質數{{mvar|p}}及常規絕對值，而此處常規絕對值記做<math>|r|_0</math>。

這項可由[[質因數分解]]得出：質因數的冪<math>p^k</math>會成為相對應的{{mvar|p}}進絕對值的倒數；而將之乘以常規[[絕對值]]後，這些倒數項會被消去。

一些人可能會將{{mvar|p}}進絕對值給稱為「{{mvar|p}}進範數」；{{Citation needed|reason=The use of the term "norm" is strange, especially in the light of the lack of homogeneity and so many other synonyms in use|date=December 2020}}然而因其不滿足[[齊次函數|齊次性]]之故，因此並非真正的[[範數]]。

一個度量空間可用如下（[[超度量空間|非阿基米德]]且{{le|平移對稱|Translational symmetry}}的）度量由<math>\mathbb{Q}</math>生成：
:<math>d \colon \Q \times \Q \to \R_{\ge 0} </math>
其定義為
:<math>d(r,s) = |r-s|_p .</math>
以此度量對有理數<math>\mathbb{Q}</math>所做的[[完備空間|完備化]]即{{mvar|p}}進數的集合<math>\mathbb{Q}_p</math>。

==參見==
*[[p進數|{{mvar|p}}進數]]
*[[阿基米德公理]]
*[[重複度]]
*[[奥斯特洛夫斯基定理]]
*[[勒讓德定理]]

==參考資料==
{{reflist}}

[[Category:代數數論]]
[[Category:p進數]]