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'''Meissel-Mertens常数'''也稱為'''Mertens常數'''或'''質數倒數和常數'''，是[[數論]]中的一個[[數學常數|常數]]，定義為只針對[[質數]]的调和级数和[[自然對數]]的自然對數二者差的極限：

:<math>M = \lim_{n \rightarrow \infty } \left(
\sum_{p \leq n} \frac{1}{p}  - \ln(\ln(n)) \right)=\gamma + \sum_{p} \left[ \ln\! \left( 1 - \frac{1}{p} \right) + \frac{1}{p} \right].</math>

其中<math>\gamma</math>為[[欧拉-马歇罗尼常数]]，其定義恰好和上式有些類似之處。

<math>M</math>的值大約是
:<math>M\approx 0.261\ 497\ 212\ 847\ 642\ 783\ 755\ 426\ 838\ 608\ 695\ 859\ 0516\ldots</math> {{OEIS|id=A077761}}.

依[[梅滕斯定理|梅滕斯第二定理]]，上述的極限存在。

Meissel-Mertens常数的極限定義中出現對數的對數，可以看成是[[素數定理]]和欧拉-马歇罗尼常数定義的組合。

[[Google]]在針對[[北電網絡]]專利拍賣投標時，曾用到此數字，Google三個投標的金額為：$1,902,160,540（[[布朗常數]]）、$2,614,972,128（Meissel-Mertens常数）、及$31.4159億（[[圓周率|π]]）<ref name="FP_2011">{{cite news
  | author = Reuters
  | authorlink = Reuters
  | url = http://business.financialpost.com/2011/07/05/googles-strage-bids-for-nortel-patents/
  | title = Google's strange bids for Nortel patents
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  | dead-url = no
  }}</ref>。

==相關條目==
* [[素数的倒数之和]]
* {{link-en|質數zeta函數|Prime zeta function}}

==參考資料==
{{reflist}}

==外部連結==
* {{MathWorld|urlname=MertensConstant|title=Mertens Constant}}
* [https://web.archive.org/web/20110716104644/http://www.maths.lth.se/matematiklu/personal/jaak/Mertens,rest.ps ''On the remainder in a series of Mertens''] (postscript file)

[[Category:數學常數]]

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