查看“︁Mason-Stothers定理”︁的源代码

'''Mason-Stothers定理'''，或簡稱'''Mason定理'''，是數學上關於多項式的定理，而這定理類似於整數上的[[abc猜想]]。這定理以1981年出版相關論述的Walter Wilson Stothers<ref>{{citation|first=W. W.|last=Stothers|title=Polynomial identities and hauptmoduln|journal=Quarterly J. Math. Oxford|series=2|volume=32|year=1981|pages=349–370 |doi=10.1093/qmath/32.3.349}}.</ref>以及稍後獨立發現這定理的R. C. Mason<ref>{{citation|last=Mason|first=R. C.|title=Diophantine Equations over Function Fields|location=Cambridge, England|publisher=Cambridge University Press|year=1984|series=London Mathematical Society Lecture Note Series|volume=96}}.</ref>為名。

此定理陳述如下：
:設{{math|''a''(''t'')}}、{{math|''b''(''t'')}}、{{math|''c''(''t'')}}為一個域上彼此互質的多項式、{{math|1=''a'' + ''b'' = ''c''}}的導數不全是0（Vanishing）導數的多項式，那麼有
::<math>\max\{\deg(a),\deg(b),\deg(c)\} \le \deg(\operatorname{rad}(abc))-1.</math>
其中{{math|rad(''f'')}}是{{mvar|f}}所有相異的不可約多項式的乘積。對於代數閉域而言，這是與{{mvar|f}}有相同的[[根 (數學)|根]]的最小多項式；在這狀況下，{{math|deg(rad(''f''))}}即代表{{mvar|f}}彼此相異的根的數量。<ref>{{cite book | author = Lang, Serge | authorlink = Serge Lang | title = Algebra| publisher = Springer-Verlag | location =New York, Berlin, Heidelberg | year = 2002 | isbn = 0-387-95385-X|page=194}}</ref>

==例子==

*對特徵為0的域而言，{{mvar|a}}、{{mvar|b}}、{{mvar|c}}不全为0（Vanishing）導數的多項式的等價條件是這些多項式不全是常數。對於特徵為{{math|''p'' > 0}}的域而言，假定這些多項式不全是常數並不足夠，像例如說，對特徵為{{mvar|p}}的域而言，{{math|1=''t''<sup>''p''</sup> + 1 = (''t'' + 1)<sup>''p''</sup>}}這等式可給出三個多項式（其中{{mvar|a}}與{{mvar|b}}是等號左邊的加數，而{{mvar|c}}放在等號右邊）的最大次數為{{mvar|p}}，但其根基（也就是相異的根的數量）的次數僅僅為{{math|2}}。
*設{{math|1=''a''(''t'') = ''t''<sup>''n''</sup>}}及{{math|1=''c''(''t'') = (''t''+1)<sup>''n''</sup>}}可給出使得Mason-Stothers定理等號成立的例子，而這顯示說在一些狀況下，不等式是最佳可能。
*Mason-Stothers定理的一個推論是[[費馬最後定理]]在函數域上的類比：對於彼此互質的多項式{{mvar|a}}、{{mvar|b}}、{{mvar|c}}，若{{math|1= ''a''(''t'')<sup>''n''</sup> + ''b''(''t'')<sup>''n''</sup> = ''c''(''t'')<sup>''n''</sup>}}且相關聯的域的特徵不能除盡{{mvar|n}}且{{math|''n'' > 2}}，那麼{{mvar|a}}、{{mvar|b}}、{{mvar|c}}至少有一個為0或者這三個多項式全是常數。

==證明==
{{harvtxt|Snyder|2000}}給出了以下關於Mason-Stothers定理的初等證明：<ref>{{citation|mr=1781918|doi=10.1007/s000170050074|last=Snyder|first=Noah|title=An alternate proof of Mason's theorem|journal=Elemente der Mathematik|volume=55|year=2000|issue=3|pages=93–94|url=http://cr.yp.to/bib/2000/snyder.pdf|doi-access=free|accessdate=2023-12-21|archive-date=2015-09-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20150906213227/http://cr.yp.to/bib/2000/snyder.pdf|dead-url=no}}.</ref>

第一步、{{math|1=''a'' + ''b'' + ''c'' = 0}}這條件表示說{{math|1=''W''(''a'', ''b'') = ''ab''′ − ''a''′''b''}}、{{math|''W''(''b'', ''c'')}}以及{{math|''W''(''c'', ''a'')}}等[[朗斯基行列式]]全數相等，設其共通值為{{mvar|W}}。

第二步、{{math|''a''′}}、{{math|''b''′}}、{{math|''c''′}}這三個導數至少有一個不全為0（Vanishing）及{{mvar|a}}、{{mvar|b}}、{{mvar|c}}彼此互質這兩點表示說{{mvar|W}}不等於零。

像例如說，若{{math|1=''W'' = 0}}，那麼{{math|1=''ab''′ = ''a''′''b''}}，故{{mvar|a}}可除盡{{math|''a''′}}（而這是因為{{mvar|a}}與{{mvar|b}}彼此互質），因此{{math|1=''a''′ = 0}}，而這是因為在{{mvar|a}}非常數的狀況下，有{{math|deg ''a'' > deg ''a''′}}之故。

第三步、{{mvar|W}}同時可被{{math|(''a'', ''a''′)}}、{{math|(''b'', ''b''′)}}以及{{math|(''c'', ''c''′)}}這三組最大公因數除盡。由於這些多項式彼此互質之故，因此{{mvar|W}}可被其乘積除盡；且因{{mvar|W}}不等於零之故，因此有
:{{math|deg (''a'', ''a''′) + deg (''b'', ''b''′) + deg (''c'', ''c''′) ≤ deg ''W''}}

第四步、將上式以下列不等式取代：
:{{math|deg (''a'', ''a''′) ≥ deg ''a''}} − （{{mvar|a}}相異的根的數量）
:{{math|deg (''b'', ''b''′) ≥ deg ''b''}} − （{{mvar|b}}相異的根的數量）
:{{math|deg (''c'', ''c''′) ≥ deg ''c''}} − （{{mvar|c}}相異的根的數量）
（其中根取自某個代數閉包）
且因為
:{{math|deg ''W'' ≤ deg ''a'' + deg ''b'' − 1 }}
之故，因此有
:{{math|deg ''c'' ≤ （{{mvar|abc}}相異的根的數量） − 1}}
而這正是所要證明的。

==推廣==
這定理有一個將多項式環以{{link-en|函數域|Algebraic function field}}取代的自然推廣，該推廣如下：

設{{mvar|k}}是一個特徵為零的代數閉域，設{{math|''C/k''}}是一個{{link-en|幾何虧格|Geometric genus}}為{{mvar|g}}的{{link-en|射影簇|Projective variety}}，並設
::<math> a,b\in k(C)</math>
為一個{{mvar|C}}並滿足<math>a+b=1</math>的有理函數，並設{{mvar|S}}為{{math|''C''(''k'')}}中包含{{mvar|a}}及{{mvar|b}}所有零點和極點的集合，那麼有
::<math> \max\bigl\{ \deg(a),\deg(b) \bigr\} \le \max\bigl\{|S| + 2g - 2,0\bigr\}.</math>
其中函數在{{math|''k''(''C'')}}的次數是相應映射從{{mvar|C}}映至<sup>P^1</sup>的次數。而一個不同且較短的證明在同年由{{link-en|J. H. Silverman|Joseph H. Silverman}}發表。<ref>{{citation|first=J. H.|last=Silverman|title=The S-unit equation over function fields|journal=Proc. Camb. Philos. Soc.|volume=95|year=1984|pages=3–4}}</ref>

此外還有一個推廣，這推廣由{{link-en|J. F. Voloch|José Felipe Voloch}}<ref>{{citation|first=J. F.|last=Voloch|title=Diagonal equations over function fields|journal=Bol. Soc. Bras. Mat.|volume=16|year=1985|pages=29–39}}</ref>、
{{link-en|W. D. Brownawell|W. Dale Brownawell}}及{{link-en|D. W. Masser|David Masser}}等人獨立發現，<ref>{{citation|first=W. D.|last=Brownawell|first2=D. W.|last2=Masser|title=Vanishing sums in function fields|journal=Math. Proc. Cambridge Philos. Soc.|volume=100|year=1986|pages=427–434}}</ref>此推廣給出了在{{math|''a''<sub>''i''</sub>}}的子集沒有一個是{{mvar|k}}─線性獨立的狀況下，有{{mvar|n}}個變數的{{mvar|S}}單位等式{{math|1=''a''<sub>1</sub> + ''a''<sub>2</sub> + ... + ''a''<sub>''n''</sub> = 1}}的上界，他們證明了下式：
::<math> \max\bigl\{ \deg(a_1),\ldots,\deg(a_n) \bigr\} \le \frac{1}{2}n(n-1)\max\bigl\{|S| + 2g - 2,0\bigr\}</math>

==參考資料==
{{reflist}}

==外部連結==
*{{mathworld|urlname=MasonsTheorem|title=Mason's Theorem}}
*[http://topologicalmusings.wordpress.com/2008/03/03/mason-stothers-theorem-and-the-abc-conjecture/ Mason-Stothers Theorem and the ABC Conjecture] {{Wayback|url=http://topologicalmusings.wordpress.com/2008/03/03/mason-stothers-theorem-and-the-abc-conjecture/ |date=20231221035616 }}, Vishal Lama ─這是一篇Lang的書的證明的整理版。

[[Category:多項式定理]]