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{{TA
|G1=物理
}}
'''K·p微扰论'''又名'''K·p微扰法'''，是[[固体物理]]中用来计算固体[[能带结构]]和光学性质的一种[[微扰论|微扰方法]]，因微扰[[哈密顿算符]]中出现了正比于简约波矢（k）与动量算符（p）[[内积]]的项而得名。该方法可以近似估计[[半导体]]中的电子在[[导带]]底的[[有效质量]]。<ref name="黄书">{{cite book|title=固体物理学|author=[[黄昆]]、韩汝琦|page=p328|year=1988|publisher=高等教育出版社}}</ref><ref name=Kittel/>

==背景==
在晶体中，势场具有周期性，如果给其中电子的波函数加以[[玻恩-冯·卡门边界条件|周期性边界条件]]，则波函数将具有[[布洛赫波]]的形式：<ref name="黄书"/>

:<math>\psi_{n,\mathbf{k}}=e^{i\mathbf{k}\mathbf{r}}u_{n,\mathbf{k}}</math>

其中<math>\mathbf{k}</math>是简约波矢，<math>u_{n,\mathbf{k}}</math>是周期函数，且周期与晶格的周期完全相同。<ref name="黄书"/>

将该表达式代入定态薛定谔方程，可得<math>u_{n,\mathbf{k}}</math>满足的方程。该方程在形式上类似于定态薛定谔方程：<ref name="黄书"/>
:<math>H_{\mathbf{k}} u_{n,\mathbf{k}}=E_{n,\mathbf{k}}u_{n,\mathbf{k}}</math>

其“哈密顿算符”为：<math>H_{\mathbf{k}} = \frac{p^2}{2m} + \frac{\hbar \mathbf{k}\cdot\mathbf{p}}{m} + \frac{\hbar^2 k^2}{2m}  + V </math>

==微扰方法==
K·p微扰论适用于简约波矢<math>\mathbf{k}</math>较小的情形下。此时可将“哈密顿算符”中不含有简约波矢<math>\mathbf{k}</math>的项视为无微扰的“哈密顿算符”，把含有简约波矢<math>\mathbf{k}</math>的项视为“微扰哈密顿算符”，即：<ref name="黄书"/>
:<math>H_{\mathbf{k}}=H_0+H_{\mathbf{k}}', \;\; H_0 = \frac{p^2}{2m}+V, \;\; H_{\mathbf{k}}' = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} + \frac{\hbar \mathbf{k}\cdot\mathbf{p}}{m}</math>

利用[[微扰论|微扰方法]]可以用所有<math>u_{n,\mathbf{0}}</math>的线性组合表达某个能带的<math>u_{n,\mathbf{k}}</math>，进而给出能量<math>E_{n,\mathbf{k}}</math>与简约波矢<math>\mathbf{k}</math>的近似关系。如果<math>u_{n,\mathbf{0}}</math>是不简并的，考虑到一级修正后<math>u_{n,\mathbf{k}}</math>的表达式为：<ref name="黄书"/>
:<math>u_{n,\mathbf{k}} = u_{n,0}+\frac{\hbar}{m}\sum_{n' \neq n}\frac{\langle u_{n,0} | \mathbf{k}\cdot\mathbf{p} | u_{n',0} \rangle}{E_{n,0}-E_{n',0}} u_{n',0}</math>

考虑二级修正以后能量的表达式为：<ref name="黄书"/>
:<math>E_{n,\mathbf{k}} = E_{n,0}+\frac{\hbar^2 k^2}{2m} + \frac{\hbar^2}{m^2} \sum_{n'\neq n} \frac{|\langle u_{n,0} | \mathbf{k}\cdot\mathbf{p} | u_{n',0} \rangle |^2}{E_{n,0}-E_{n',0}}=E_{n,0}+\frac{\hbar^2 k^2}{2m} + \frac{\hbar^2}{m^2} \sum_{n'\neq n} \sum_{i,j} \frac{|\langle u_{n,0} | p_{i} | u_{n',0} \rangle ||\langle u_{n,0} | p_{j} | u_{n',0} \rangle |}{E_{n,0}-E_{n',0}}k_{i}k_{j}</math>

电子的倒[[有效质量]]张量近似为：<ref name="黄书"/>
:<math>(\frac{1}{m^{\star}})_{ij}=\frac{1}{m}\delta_{ij}+\frac{2}{m^{2}}\sum_{n'\neq n}\frac{|\langle u_{n,0} | p_{i} | u_{n',0} \rangle ||\langle u_{n,0} | p_{j} | u_{n',0} \rangle |}{E_{n,0}-E_{n',0}}</math>

== 应用 ==
在[[直接带隙半导体]]中，导带底部的电子对应的简约波矢为零，它的有效质量可运用K·p微扰论近似计算。微扰论中最近邻态的微扰贡献最大。导带底和价带顶的态互为最近邻态，仅考虑彼此的微扰贡献，K·p微扰论的结果可进一步简化为：<ref name="黄书"/>
:<math>(\frac{1}{m^{\star}})_{ij}=\frac{1}{m}\delta_{ij}+\frac{2}{m^{2}}\frac{|\langle u_{v,0} | p_{i} | u_{c,0} \rangle ||\langle u_{c,0} | p_{j} | u_{v,0} \rangle |}{E_{g}}</math>

式中<math>E_{g}</math>为导带底与价带顶的能量差，即[[带隙]]；脚标v和c分别指代价带顶与导带底的态。如果所考虑的导带底是旋转对称的，倒有效质量张量可以用一个标量代替：<ref name="黄书"/>
:<math>\frac{1}{m^{\star}}=\frac{1}{m}+\frac{2}{m^{2}}\sum_{i}\frac{|\langle u_{v,0} | p_{i} | u_{c,0} \rangle |^{2}}{E_{g}}</math>

表明半导体的带隙越小，导带底电子有效质量也越小。对通常的半导体来说，导带底电子的有效质量远小于电子的真实质量，且矩阵元与电子真实质量的比值近似为一个常量10eV。故：<ref name="黄书"/>
:<math>{m^{\star}}/m=E_{g}/20ev</math>

该公式给出的导带底电子有效质量近似值与绝大多数IV族、III-V族、II-VI族直接带隙半导体实测值的误差在15%以内。<ref name=Table2.22>参见[http://books.google.com/books?id=W9pdJZoAeyEC&pg=PA244&dq=isbn:3540254706#PPA71,M1 Fundamentals of Semiconductors: Physics and Materials Properties] {{Wayback|url=http://books.google.com/books?id=W9pdJZoAeyEC&pg=PA244&dq=isbn:3540254706#PPA71,M1 |date=20170421012028 }}一书中表2.22</ref>

== 推广 ==
如果考虑[[自旋-轨道作用]]，仍然可以用类似方法处理。此时“哈密顿算符”应写为：<ref name=Kittel>
{{cite book
 |author=C. Kittel
 |year=1987
 |title=Quantum Theory of Solids
 |url=https://archive.org/details/quantumtheorysol00kitt
 |edition=Second Revised Printing
 |pages=[https://archive.org/details/quantumtheorysol00kitt/page/n200 186]–190
 |isbn=0-471-62412-8
 |publisher=[[Wiley]]
 |location=New York
}}</ref>
:<math>H_{\mathbf{k}} = \frac{p^2}{2m} + \frac{\hbar}{m}\mathbf{k}\cdot\mathbf{p} + \frac{\hbar^2 k^2}{2m}  + V + \frac{\hbar}{4 m^2 c^2} (\nabla V \times (\mathbf{p}+\hbar\mathbf{k}))\cdot \vec \sigma </math>

如果<math>u_{n,\mathbf{0}}</math>有简并，需要使用[[简并微扰]]理论。<ref name=Yu2.6>{{cite book
 |author=P. Yu, M. Cardona
 |year=2005
 |title=Fundamentals of Semiconductors: Physics and Materials Properties
 |url=http://books.google.com/books?id=W9pdJZoAeyEC&pg=PA244&dq=isbn=3540254706#PPA68,M1
 |edition=3rd
 |page=Section 2.6, pp. 68 ''ff'
 |nopp=yes
 |publisher=[[Springer]]
 |isbn=3-540-25470-6
 |access-date=2016-06-19
 |archive-date=2017-04-21
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170421012354/https://books.google.com/books?id=W9pdJZoAeyEC&pg=PA244&dq=isbn=3540254706#PPA68,M1
 |dead-url=no
 }}</ref>{{link-en|Luttinger–Kohn模型|Luttinger–Kohn model}}可以处理这类问题。<ref>
{{cite journal
 |author=J. M. Luttinger, W. Kohn
 |year=1955
 |title=Motion of Electrons and Holes in Perturbed Periodic Fields
 |url=https://archive.org/details/sim_physical-review_1955-02-15_97_4/page/n27
 |journal=[[Physical Review]]
 |volume=97 |issue= |pages=869
 |doi=10.1103/PhysRev.97.869
|bibcode = 1955PhRv...97..869L }}</ref>

==参见==
*[[布洛赫定理]]
==参考文献==
{{reflist}}
{{固体物理学}}
[[Category:固体物理学]]
[[Category:電子結構方法]]