查看“︁H square”︁的源代码

{{expert|time=2017-11-30T15:55:47+00:00}}
'''''H'''''<sup>2</sup>或'''H-square'''是[[數學]]及[[控制理論]]的用語，是指有平方范数的[[哈代空間]]，是[[Lp空间|''L''<sup>2</sup>空間]]的子集合，因此也是[[希尔伯特空间]]。特別的是，''H''<sup>2</sup>空間也是{{le|再生核希尔伯特空间|Reproducing kernel Hilbert space}}。
== 單位圓盤內的''H''<sup>2</sup>空間 ==
一般而言，單位圓盤內''L''<sup>2</sup>空間的元素可以表示為

:<math>\sum_{n=-\infty}^\infty a_n e^{in\varphi}</math>

而''H''<sup>2</sup>空間的元素可以表示為

:<math>\sum_{n=0}^\infty a_n e^{in\varphi}.</math>

從''L''<sup>2</sup>空間到''H''<sup>2</sup>空間的映射（令''n''&nbsp;<&nbsp;0時的''a''<sub>''n''</sub>&nbsp;=&nbsp;0）是orthogonal映射。

== 半平面中的''H''<sup>2</sup>空間 ==
[[拉氏轉換]] <math>\mathcal{L}</math>

:<math>[\mathcal{L}f](s)=\int_0^\infty e^{-st}f(t)dt</math>

可以理解為以下的線性算子

:<math>\mathcal{L}:L^2(0,\infty)\to 
H^2\left(\mathbb{C}^+\right)</math>

其中<math>L^2(0,\infty)</math>為正實數線上[[平方可積函數]]的集合，且<math>\mathbb{C}^+</math>為複平面的右半平面，而且拉氏轉換也是[[同构]]（因為其可逆），而且[[等距同构]]，因為滿足下式

:<math>\|\mathcal{L}f\|_{H^2} = \sqrt{2\pi} \|f\|_{L^2}.</math>

拉氏轉換是-{「}-半個-{」}-傅立葉轉換，因為以下的分解

:<math>L^2(\mathbb{R})=L^2(-\infty,0) \oplus L^2(0,\infty)</math>

可以得到<math>L^2(\mathbb{R})</math>正交分解成兩個哈代空間

:<math>L^2(\mathbb{R})=
H^2\left(\mathbb{C}^-\right) \oplus
H^2\left(\mathbb{C}^+\right).</math>

在本質上就是{{le|培力-威納定理|Paley-Wiener theorem}}。

== 相關條目==
* [[H infinity|''H''<sub>&infin;</sub>]]

==參考資料==
* Jonathan R. Partington, "Linear Operators and Linear Systems, An Analytical Approach to Control Theory", ''London Mathematical Society Student Texts '''60''''', (2004) Cambridge University Press, {{isbn|0-521-54619-2}}.
[[Category:控制理论]]
[[Category:数学分析]]