查看“︁Delta位勢壘”︁的源代码

{{noteTA
|G1=物理學
}}
在[[量子力學]]裏，'''Delta位勢壘'''是一個壘內位勢為[[狄拉克Delta函數]]，壘外位勢為0的位勢壘。'''Delta位勢壘問題'''專門研討，在這種位勢的作用中，一個移動的粒子的量子行為。我們想要知道的是，在被Delta位勢壘[[散射]]的狀況下，粒子的[[反射係數]]與[[透射係數]]。在許多量子力學的教科書裏，這是一個常見的習題。

== 定義 ==
[[File:Deltapot.png|thumb|200px|對於一個Delta位勢壘的[[散射]]。往左與往右的[[行進波]]的振幅與方向都分別表示於圖內。用來計算[[透射係數]]與[[反射係數]]的[[行進波]]都以紅色表示。]]

一個粒子獨立於[[時間]]的[[薛丁格方程]]為
:<math>- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+V(x)\psi(x)= E\psi(x)\,\!</math>；

其中，<math>\hbar\,\!</math>是[[約化普朗克常數]]，<math>m\,\!</math>是粒子質量，<math>x\,\!</math>是粒子位置，<math>E\,\!</math>是能量，<math>\psi(x)\,\!</math>是[[波函數]]，<math>V(x)\,\!</math>是位勢，表達為

:<math>V(x)=\lambda\delta(x)\,\!</math>；

其中，<math>\delta(x)\,\!</math>是[[狄拉克Delta函數]]，<math>\lambda\,\!</math>是狄拉克Delta函數的強度。

== 導引 ==
這位勢壘將一維空間分為兩個區域：<math>x<0\,\!</math>與<math>x>0\,\!</math>。在任何一個區域內，位勢為常數，薛丁格方程的解答可以寫為往右與往左傳播的波函數的[[態疊加原理|疊加]]（參閱[[自由粒子]]）：

:<math>\psi_L(x)= A_r e^{i k x} + A_l e^{-ikx}\quad x<0 \,\!</math>， 
:<math>\psi_R(x)= B_r e^{i k x} + B_l e^{-ikx}\quad x>0\,\!</math>；

其中，<math>A_r\,\!</math>、<math>A_l\,\!</math>、<math>B_r\,\!</math>、<math>B_l\,\!</math>都是必須由[[邊界條件]]決定的常數，下標<math>r\,\!</math>與<math>l\,\!</math>分別標記波函數往右或往左的方向。<math>k=\sqrt{2m E/\hbar^{2}}\,\!</math>是[[波數]]。 

由於<math>E>0\,\!</math>，<math>\psi_L\,\!</math>與<math>\psi_R\,\!</math>都是[[行進波]]。這兩個波必須滿足在<math>x=0\,\!</math>的邊界條件：

:<math>\psi_L=\psi_R\,\!</math>，
:<math>\frac{d}{dx}\psi_L = \frac{d}{dx}\psi_R - \frac{2m\lambda}{\hbar^2} \psi_R\,\!</math>。

特別注意第二個邊界條件方程式，波函數隨位置的導數在<math>x=0\,\!</math>並不是連續的，在位勢壘兩邊的差額有<math> - \frac{2\lambda}{\hbar^2} \psi_R\,\!</math>這麼多。這方程式的推導必須用到薛丁格方程。將薛丁格方程積分於<math>x=0\,\!</math>的一個非常小的鄰域：
::<math> - \frac{\hbar^2}{2 m} \int_{ - \epsilon}^{\epsilon} \frac{d^2 \psi}{d x^2}\, dx + \int_{ - \epsilon}^{\epsilon}V(x) \psi \, dx = E \int_{ - \epsilon}^{\epsilon} \psi \, dx\,\!</math>；<span style="position:absolute;right:15%">(1)</span>

其中，<math>\epsilon\,\!</math>是一個非常小的數值。

方程式(1)右邊的能量項目是
:<math>E \int_{ - \epsilon}^{\epsilon} \psi \, dx \approx E \cdot 2 \epsilon \cdot \psi(0)\,\!</math>。<span style="position:absolute;right:15%">(2)</span>

在<math>\epsilon \to 0\,\!</math>的極限，這項目往著0去。

方程式(1)左邊是
:<math> - \frac{\hbar^2}{2 m} \left( \frac{d\psi_R}{dx}\bigg|_{\epsilon} - \frac{d\psi_L}{dx}\bigg|_{ - \epsilon} \right) + \lambda\int_{-\epsilon}^{\epsilon}\delta(x) \psi \, dx = 0\,\!</math><span style="position:absolute;right:15%">(3)</span>

根據[[狄拉克Delta函數]]的定義，
:<math>\int_{-\epsilon}^{\epsilon}\delta(x) \psi \, dx =\psi_R(0)\,\!</math>。<span style="position:absolute;right:15%">(4)</span>

而在<math>\epsilon \to 0\,\!</math>的極限，

:<math>\lim_{\epsilon \to 0}\frac{d\psi_L}{dx}\bigg|_{ - \epsilon}=\frac{d\psi_L}{dx}\bigg|_0\,\!</math>，<span style="position:absolute;right:15%">(5)</span>
:<math>\lim_{\epsilon \to 0}\frac{d\psi_R}{dx}\bigg|_{\epsilon}=\frac{d\psi_R}{dx}\bigg|_0\,\!</math>。<span style="position:absolute;right:15%">(6)</span>

將這些結果(4)，(5)，(6)代入方程式(3)，稍加編排，可以得到第二個邊界條件方程式：在<math>x=0\,\!</math>，
:<math>\frac{d\psi_L}{dx}=\frac{d\psi_R}{dx} - \frac{2m\lambda}{\hbar^2}\psi_R\,\!</math>。

從這兩個邊界條件方程式。稍加運算，可以得到以下方程式：

:<math>A_r+A_l=B_r+B_l\,\!</math>，

:<math>ik(A_r - A_l - B_r+B_l)= - \frac{2m\lambda}{\hbar^2}(B_r+B_l)\,\!</math>。

=== 反射與透射 ===
[[File:DeltaPotentialBarrier.PNG|thumb|200px|一個Delta位勢壘的反射係數<math>R\,\!</math>（用紅線表示）與透射係數<math>T\,\!</math>（用綠線表示）隨著能量<math>E\,\!</math>的變化。在這裏，能量<math>E>0\,\!</math>。能量的單位是<math>\frac{\lambda^2}{2m\hbar^2}\,\!</math>。經典力學的答案用虛線表示，量子力學的答案用實線表示。]]

由於能量是正值的，粒子可以自由的移動於位勢壘外的兩個半空間，<math>x<0\,\!</math>或<math>x>0\,\!</math>。可是，在Delta位勢壘，粒子會遇到[[散射]]狀況。設定粒子從左邊入射。在Delta位勢壘，粒子可能會被反射回去，或者會被透射過去。我們想要知道散射的[[反射係數]]與[[透射係數]]。設定<math>A_r=1\,\!</math>，<math>A_l=r\,\!</math>，<math>B_l=0\,\!</math>，<math>B_r=t\,\!</math>。求算反射的[[機率幅]]<math>r\,\!</math>與透射的[[機率幅]]<math>t\,\!</math>：
:<math>r=\cfrac{1}{\cfrac{i\hbar^2 k}{m\lambda} - 1}\,\!</math>，
:<math>t=\cfrac{1}{\cfrac{i m\lambda}{\hbar^2k}+1}\,\!</math>。

反射係數是
:<math>R=|r|^2=\cfrac{1}{1+\cfrac{\hbar^4k^2}{m^2\lambda^2}}= \cfrac{1}{1+\cfrac{2\hbar^2 E}{m\lambda^2}}\,\!</math>。

透射係數是
:<math>T=|t|^2=1 - R=\cfrac{1}{1+\cfrac{m^2\lambda^2}{\hbar^4k^2}}= \cfrac{1}{1+\cfrac{m\lambda^2}{2\hbar^2 E}}\,\!</math>。

這純粹是一個量子力學的效應，稱為[[量子穿隧效應]]；在經典力學裏，透射係數等於0，粒子不可能會透射過位勢壘。

*由於模型的對稱性，假若，粒子從右邊入射，我們也會得到同樣的答案。
*很奇異地，給予同樣的能量、質量、與狄拉克Delta函數的強度，Delta位勢壘與Delta位勢阱有同樣的反射係數與透射係數。

== 參閱 ==
*[[自由粒子]]
*[[無限深方形阱]]
*[[有限深方形阱]]
*[[有限位勢壘]]
*[[球對稱位勢]] 
*[[Delta位勢阱]]
*[[量子穿隧效應]]

[[Category:量子力學|D]]