查看“︁2的12次方根”︁的源代码

{{Infobox number
| range = <table style= "width:100%; margin:0;"><tr style="align:center;white-space: nowrap; ">
<td>[[數表]]—{{無理數}}</td>
</tr></table>
| name=2的12次方根
| OEIS=A010774
| nav=no
| number=<math>\sqrt[12]{2}</math>
| root of=<math>x^{12}-2 = 0</math>
| value=<math>\sqrt[12]{2}\approx</math>1.05946309...
| symbol=<math>\sqrt[12]{2}</math>
| type=[[無理數]]
| 連分數=[1; 16, 1, 4, 2, 7, 1, 1, 2, 2, 7, 4, 1, 2, 1, 60, 1, 3, 1, 2]
| basedata = {{Infobox number/base
| 二進制 = {{FractionalGaps|{{進制|2|1.059463094359295264561825294946341700779204317494|precision=32}}|4|…}}
| 十進位 = {{FractionalGaps|1.05946309435929526456182529494634|4|…}}
| 十六進位 = {{FractionalGaps|{{進制|16|1.059463094359295264561825294946341700779204317494|precision=32}}|4|…}}}}
}}
'''2的12次方根'''是一個[[代數數|代數]][[無理數]]，計為<math>\sqrt[12]{2}</math>或<math>2^{\frac{1}{12}}</math>，是方程式<math>x^{12}-2 = 0</math>的正實根。它是[[音樂理論]]中的一個重要[[常數]]，它代表了[[十二平均律]]中[[半音]]的[[頻率 (物理學)|頻率]]比。

== 數值 ==
<math>\sqrt[12]{2}</math>的近似值為{{Root|2|12}}，其值略高於<math>\frac{18}{17}</math><ref>卓仁祥《从文化角度看十二平均律的发现》美国TEXAS大学</ref> ≈ 1.0588。更好的近似值為<math>\frac{196}{185}</math> ≈ 1.059459或<math>\frac{18904}{17843}</math> ≈ 1.0594630948。

== 性質 ==
*方程式<math>x^{12}-2 = 0</math>的正實根
*超體積為2的12維超立方體之邊長
*其值約為{{Root|2|12}} {{OEIS|id=A010774}}
*其[[連分數]]為：
*:<math> \sqrt[12]{2} = 1 + \frac{1}{16 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}}}} </math>{{OEIS|id=A103922}}

== 半音音階 ==
因為[[音程]]是頻率的比例，等於平均律半音音階劃分[[八度]]（具有2:1的比例）成[[12]]等份。

利用此比值，以半音音階的音調從最接近且高於[[中央C]]的A以頻率440開始，產生音高的順序與波的頻率如下：

{| class="wikitable" style="text-align: center"
! 音符<br/>  
! 頻率<br/> Hz
! 倍率<br/>  
! 係數<br/>（六處）
|-
| A     || 440.00 || 2{{sup|0/12}} || 1.000000
|-
| A{{music|#}}/B{{music|b}} || 466.16 || 2{{sup|1/12}} || 1.059463
|-
| B     || 493.88 || 2{{sup|2/12}} || 1.122462
|-
| C     || 523.25 || 2{{sup|3/12}} || 1.189207
|-
| C{{music|#}}/D{{music|b}} || 554.37 || 2{{sup|4/12}} || 1.259921
|-
| D     || 587.33 || 2{{sup|5/12}} || 1.334839
|-
| D{{music|#}}/E{{music|b}} || 622.25 || 2{{sup|6/12}} || 1.414213
|-
| E     || 659.26 || 2{{sup|7/12}} || 1.498307
|-
| F     || 698.46 || 2{{sup|8/12}} || 1.587401
|-
| F{{music|#}}/G{{music|b}} || 739.99 || 2{{sup|9/12}} || 1.681792
|-
| G     || 783.99 || 2{{sup|10/12}} || 1.781797
|-
| G{{music|#}}/A{{music|b}} || 830.61 || 2{{sup|11/12}} || 1.887748
|-
| A     || 880.00 || 2{{sup|12/12}} || 2.000000
|}

最終的'''A'''（880 Hz）的頻率為初始的'''A'''（440 Hz）的兩倍，也就是說，他們差了八度。

== 間距調整 ==
由於一個半音的頻率比接近106％，一個錄音的播放速度增加或減慢6％將會使音高向上或向下一個半音移位“半步”。

== 參見 ==
*[[數表]]
*[[純律]]
*[[音樂數學]]
*[[方根]]
*[[十二平均律]]

== 參考文獻 ==
{{Reflist}}
* Barbour, J.M.. ''A Sixteenth Century Approximation for Pi,'' The American Mathematical Monthly, Vol. 40, no. 2, 1933. Pp. 69–73.
* Ellis, Alexander and Hermann Helmholtz. ''On the Sensations of Tone''. Dover Publications, 1954. ISBN 0-486-60753-4
* Partch, Harry. ''[[Genesis of a Music]]''. Da Capo Press, 1974. ISBN 0-306-80106-X

{{無理數導航}}
{{代數數}}

[[Category:數學常數]]
[[Category:代數數]]
[[Category:無理數]]
[[Category:調律]]