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在[[數學]]中，'''齐次函数'''（{{lang-en|Homogenous}}）是一個有[[倍數]]性質的[[函数|函數]]：如果[[变數]]乘以一個[[係數]]，則新函數會是原函數再乘上係數的某次方倍。

== 正式定义 ==
假设<math> f: V \rarr W </math>是[[体 (数学)|域]]<math> F </math>内的两个[[向量空间]]之间的函数。 

我们说<math> f </math>是“<math> k </math>次齐次函数”，如果对于所有非零的<math> \alpha \isin F </math>和<math> \mathbf{v} \isin V </math>，都有：

:<math> f(\alpha \mathbf{v}) = \alpha^k f(\mathbf{v}) </math>

即是，在[[歐幾里得空間]]，<math> f(\alpha \mathbf{v}) = f(k) \ f(\mathbf{v}) </math>，
其中<math>f(k)</math>為[[指數函數]]。

== 例子 ==

* [[线性函数]]<math> f: V \rarr W </math>是一次齐次函数，因为根据线性的定义，对于所有的<math> \alpha \isin F </math>和<math> \mathbf{v} \isin V </math>，都有：<math display="block">f(\alpha \mathbf{v})=\alpha f(\mathbf{v})</math>
* [[多重线性映射|多线性函数]]<math> f: V_1 \times \ldots \times V_n \rarr W </math>是n次齐次函数，因为根据多线性的定义，对于所有的<math> \alpha \isin F </math>和<math> \mathbf{v}_1 \isin V_1,\ldots,\mathbf{v}_n \isin V_n </math>都有：<math display="block">f(\alpha \mathbf{v}_1,\ldots,\alpha \mathbf{v}_n)=\alpha^n f(\mathbf{v}_1,\ldots, \mathbf{v}_n)</math>
* 从上一个例子中可以看出，两个巴拿赫空间<math>X</math>和<math>Y</math>之间的函数<math>f: X \rightarrow Y</math>的<math>n</math>阶[[弗雷歇导数]]是<math>n</math>次齐次函数。
* <math>n</math>元[[单项式]]定义了齐次函数<math> f:\mathbb{R}^n \rarr \mathbb{R}</math>。

例如：
:<math>f(x,y,z)=x^5y^2z^3</math>
是10次齐次函数，因为：
:<math>(\alpha x)^5(\alpha y)^2(\alpha z)^3=\alpha^{10}x^5y^2z^3</math>。

* [[齐次多项式]]是由同次数的单项式相加所组成的多项式。例如： 
:<math>x^5 + 2 x^3 y^2 + 9 x y^4</math>
是5次齐次多项式。齐次多项式可以用来定义齐次函数。

== 基本定理 ==

* 欧拉定理：假设函数<math> f:\mathbb{R}^n \rarr \mathbb{R}</math>是[[可导]]的，且是<math> k </math>次齐次函数。那么：
:<math> \mathbf{x} \cdot \nabla f(\mathbf{x})= kf(\mathbf{x}) \qquad </math>。

这个结果证明如下。记<math>f=f(x_1,\ldots,x_n)=f(\mathbf{x}) </math>，并把以下等式两端对<math>\alpha</math>求导：
:<math>f(\alpha \mathbf{x})=\alpha^k f(\mathbf{x})</math>
利用[[复合函数求导法则]]，可得：
:<math>\frac{\partial}{\partial \alpha x_1}f(\alpha\mathbf{x})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}(\alpha x_1)+ \cdots +\frac{\partial}{\partial \alpha {x_n}}f(\alpha\mathbf{x})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}(\alpha x_n) = k \alpha ^{k-1} f(\mathbf{x})</math>，
因此：
:<math>x_1\frac{\partial}{\partial 
\alpha x_1}f(\alpha\mathbf{x})+ \cdots +
x_n\frac{\partial}{\partial \alpha x_n}f(\alpha\mathbf{x}) = k \alpha^{k-1} f(\mathbf{x})</math>。
以上的方程可以用[[劈形算符]]写为：
:<math> \mathbf{x} \cdot \nabla f(\alpha \mathbf{x}) = k \alpha^{k}f(\mathbf{x}), \qquad \nabla=(\frac{\partial}{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial}{\partial x_n})</math>，
当<math>\alpha=1</math>，定理即得证。

* 假设<math> f:\mathbb{R}^n \rarr \mathbb{R}</math>是可导的，且是<math> k </math>阶齐次函数。则它的一阶偏导数<math>\partial f/\partial x_i</math>是<math> k-1</math>阶齐次函数。

这个结果可以用类似欧拉定理的方法来证明。记<math>f=f(x_1,\ldots,x_n)=f(\mathbf{x}) </math>，并把以下等式两端对<math>x_i</math>求导：
:<math>f(\alpha \mathbf{x})=\alpha^k f(\mathbf{x})</math>
利用[[复合函数求导法则]]，可得：
:<math>\frac{\partial}{\partial \alpha x_i}f(\alpha\mathbf{x})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x_i}(\alpha x_i) = \alpha ^k \frac{\partial}{\partial x_i}f(\mathbf{x})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x_i}(x_i)</math>，
因此：
:<math>\alpha\frac{\partial}{\partial \alpha x_i}f(\alpha\mathbf{x}) = \alpha ^k \frac{\partial}{\partial x_i}f(\mathbf{x})</math>
所以
:<math>\frac{\partial}{\partial \alpha x_i}f(\alpha\mathbf{x}) = \alpha ^{k-1} \frac{\partial}{\partial x_i}f(\mathbf{x})</math>.

== 用于解微分方程 ==

对于以下的[[微分方程]]
: <math>I(x, y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + J(x,y) = 0,</math>
其中<math>I</math>和<math>J</math>是同次数的齐次函数，利用变量代换<math>v=y/x</math>，可以把它化为[[分离变数法|可分离变量的微分方程]]：
:<math>x \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=-\frac{J(1,v)}{I(1,v)}-v</math>。

== 参考文献 ==
* {{cite book | author=Blatter, Christian | title=Analysis II (2nd ed.) | publisher=Springer Verlag | year=1979 |language=de |isbn=3-540-09484-9 | pages=p. 188 | chapter=20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.}}

== 外部链接 ==
* {{springer|title=Homogeneous function|id=p/h047670}}
* {{planetmath reference|id=6381|title=Homogeneous function|urlname=homogeneousfunction}}

[[Category:線性代數]]
[[Category:微分算子]]
[[Category:各类函数]]
[[Category:莱昂哈德·欧拉]]