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==定義==
假設對於[[數論函數]] <math>f(n)</math> 和 <math>F(n)</math>，有以下關係式：

<math>F(n) = \sum_{d|n} f(d)</math>

則將其默比乌斯反轉公式定義為：

<math>f(n) = \sum_{d|n} \mu (d) F \left( \frac{n}{d} \right)</math>

这里 <math>\mu</math> 为[[默比乌斯函数]]，定义为：

{|
|rowspan="3" | <math>\mu (n) = \begin{cases} 1 \\ (-1)^k \\ 0 \\ \end{cases} </math>
|若<math>n=1\,</math>
|-
|若<math>n\,</math>[[无平方数因数的数|无平方数因数]]，且<math>n = p_1 p_2 ...... p_k\,</math>
|-
|若<math>n\,</math>有大於<math>1\,</math>的平方數因數
|}

== 一般形式 ==
設<math>F(x)</math>及<math>G(x)</math>為定義在<math>[1, \infty)</math>上的複值函數並且

<math> G(x)=\sum_{1\leqslant n\leqslant x}F\left( \frac{x}{n}\right) </math>

則

<math> F(x)=\sum_{1\leqslant n\leqslant x}\mu(n)G\left( \frac{x}{n}\right) </math>

== 证明 ==
我们有 <math>f(n) = \sum_{d\mid n}\left[\frac{n}{d} = 1\right]f(d)</math>，其中<math>[n = 1]</math>在<math>n = 1</math>时为 1，其余点为 0。

而根据莫比乌斯函数的性质，<math>[n = 1] = \sum_{d\mid n}\mu(d)</math>，代入得到<math>f(n) = \sum_{d\mid n}\sum_{m\mid \frac{n}{d}}\mu(m)f(d)</math>。

由于<math>\sum_{d\mid n}\sum_{m\mid \frac{n}{d}}</math>的限制条件其实就是<math>md\mid n</math>，故等式可以写成：<math>f(n) = \sum_{m\mid n}\mu(m)\sum_{d\mid \frac{n}{m}}f(d) = \sum_{m\mid n}\mu(m)F(\frac{n}{m})</math>。

== 參見 ==
* [[默比乌斯函數]]

{{numtheory-stub}}

[[Category:数学公式]]
[[Category:算术函数]]

[[ru:Функция Мёбиуса#Обращение Мёбиуса]]