查看“︁黎曼-西格尔公式”︁的源代码

在[[数学]]中，'''黎曼-西格尔公式'''是[[黎曼ζ函數]]的'''近似函数方程'''误差的[[渐近分析|渐近公式]]，前者是ζ函數的近似值，由两个有限[[狄利克雷级数]]的和来近似。{{harvtxt|Siegel|1932}}在[[波恩哈德·黎曼]]1850年代一篇未发表的手稿中发现这个公式。西格尔从'''黎曼-西格尔积分公式'''中推导出它，这是一个涉及ζ函数[[围道积分]]的表达式。该公式通常用于计算黎曼-西格尔公式的值，与[[欧德里兹科-肖恩哈格算法]]相结合，可以大大加快算法的速度。当沿着临界线使用时，通常将其变换为关于[[Z函数]]的公式比较有用。

如果''M''和''N''是非负整数，那么ζ函数等于

:<math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^N\frac{1}{n^s} + \gamma(1-s)\sum_{n=1}^M\frac{1}{n^{1-s}} + R(s) </math>

其中

:<math>\gamma(s) = \pi^{\tfrac{1}{2}-s} \frac{\Gamma \left (\tfrac{s}{2} \right)}{\Gamma \left(\tfrac{1}{2}(1-s)\right)}</math>

是函数方程{{math|''ζ''(''s'') {{=}} ''γ''(''1-s'') ''ζ''(1 − ''s'')}}中出现的因数，且

:<math>R(s) = \frac{-\Gamma(1-s)}{2\pi i}\int \frac{(-x)^{s-1}e^{-Nx}}{e^x-1}dx</math>

是一个围道积分，围道的起点和终点在+∞处，并最多绕绝对值奇点{{math|2''πM''}}圈。近似函数方程给出了误差项大小的估计。{{harvtxt|Siegel|1932}}和{{harvtxt|Edwards|1974}}通过将[[最速下降法]]应用于该积分，推导出黎曼-西格尔公式，将误差项''R''(''s'')渐近展开为Im(''s'')的负幂次级数。在应用中，''s''通常位于临界线上，并且选择正整数''M''和''N''约为{{math|(2''π''Im(''s''))<sup>1/2</sup>}}。{{harvtxt|Gabcke|1979}}发现了一个黎曼-西格尔公式误差的较好界限。

== 黎曼积分公式 ==
黎曼证明了

:<math>\int_{0 \searrow 1} \frac{e^{-i\pi u^2+2\pi i pu}}{e^{\pi i u}-e^{-\pi i u}} du = \frac{e^{i\pi p^2}-e^{i\pi p}}{e^{i\pi p} - e^{-i \pi p}}</math>

积分围道是一条斜率为-1的线，通过0和1之间{{harv|Edwards|1974|loc=7.9}}。

他用此给出了以下ζ函数的积分公式：

:<math>\pi^{-\tfrac{s}{2}}\Gamma\left (\tfrac{s}{2} \right)\zeta(s)= \pi^{-\tfrac{s}{2}}\Gamma \left (\tfrac{s}{2} \right) \int_{0\swarrow 1}\frac{x^{-s}e^{\pi i x^2}}{e^{\pi i x}-e^{-\pi i x}}\,dx +\pi^{-\frac{1-s}{2}}\Gamma \left (\tfrac{1-s}{2} \right)\int_{0\searrow 1}\frac{x^{s-1}e^{-\pi i x^2}}{e^{\pi i x}-e^{-\pi i x}}\,dx</math>

== 参考 ==
*{{citation | last1=Berry | first1=Michael V. | author1-link=迈克尔·贝里 | title=The Riemann–Siegel expansion for the zeta function: high orders and remainders | doi=10.1098/rspa.1995.0093 | mr=1349513 | year=1995 | journal=Proceedings of the Royal Society. London. Series A. Mathematical, Physical and Engineering Sciences | issn=0962-8444 | volume=450 | issue=1939 | pages=439–462 | zbl=0842.11030 }}
*{{citation | last=Edwards | first=H.M. | authorlink=Harold Edwards (mathematician) | title=Riemann's zeta function | series=Pure and Applied Mathematics | volume=58 | location=New York-London |publisher=Academic Press | year=1974 | isbn=0-12-232750-0 | zbl=0315.10035}}
*{{citation | first=Wolfgang | last=Gabcke | year=1979 | publisher=Georg-August-Universität Göttingen | url=http://hdl.handle.net/11858/00-1735-0000-0022-6013-8|title=Neue Herleitung und Explizite Restabschätzung der Riemann-Siegel-Formel | zbl=0499.10040 | language=德语}}
*{{citation | last=Patterson | first=S.J. | title=An introduction to the theory of the Riemann zeta-function | series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics | volume=14 | location=Cambridge | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1988 | isbn=0-521-33535-3 | zbl=0641.10029 }}
*{{citation | authorlink=卡尔·西格尔 | last=Siegel | first=C. L. | title=Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie | journal= Quellen Studien zur Geschichte der Math. Astron. und Phys. Abt. B: Studien 2 | pages= 45–80 | year= 1932 | zbl=0004.10501 | jfm=58.1037.07 }} Reprinted in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: [[Springer-Verlag]], 1966.

==外部链接 ==
*{{citation|first=X.|last=Gourdon|url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetaevaluations.html|title=Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function|accessdate=2018-04-13|archive-date=2018-03-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20180329204053/http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetaevaluations.html|dead-url=yes}}
*{{mathworld|urlname=Riemann-SiegelFormula|title=黎曼-西格尔公式}}

[[Category:Ζ函數與L函數]]
[[Category:解析数论定理]]
[[Category:波恩哈德·黎曼]]