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[[Image:Complex Riemann Xi.jpg|right|thumb|300px|[[複平面]]中的黎曼ξ函數<math> \xi(s) </math>。[[複平面]]中的點<math>s</math>，其色彩代表了該點的函數值；較暗的顏色表示其值接近於零，而色調表示了函數值的[[幅角]]。]]

[[數學]]中，'''黎曼ξ函數'''（{{lang-en|Riemann Xi function}}）是[[黎曼ζ函數]]的變型，其定義是為了得到一個簡單的[[泛函方程式]]。此函數得名於[[波恩哈德·黎曼]]。

== 定義 ==
[[愛德蒙·蘭道]]將黎曼原先小寫的[[ξ]]函數以被改為大寫的[[Ξ]]函數（另參見下方），而蘭道的小寫ξ函數則定義為：<ref>[[Edmund Landau]]. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Leipzig 1909. Third edition Chelsea, New York, 1974, §70.</ref>  
:<math>\xi(s) = \tfrac{1}{2} s(s-1) \pi^{-\frac{s}{2}} \Gamma\left(\tfrac{1}{2} s\right) \zeta(s)</math>，
其中
* <math>s\in\mathbb{C}</math>；
* &zeta;(''s'')為[[黎曼ζ函數]]；
* &Gamma;(s)為[[伽瑪函數]]。

蘭道的小寫ζ函數的泛函方程式（或稱{{le|反射式|reflection formula}}）為
:<math>\xi(1-s) = \xi(s)</math>。

蘭道的大寫Ξ函數（loc. cit., §71）為
:<math>\Xi(z) = \xi(\frac12+zi)</math>
遵守泛函方程式：
:<math>\Xi(-z) =\Xi(z)</math>。

一如蘭道所寫（loc. cit., p.&nbsp;894），Ξ函數即原先的黎曼ξ函數。

== 函數值 ==
當''s''為[[偶數]]，亦即''s'' = 2''n''，ξ(''s'')一般式為
:<math>\xi(2n) = (-1)^{n+1}\frac{1}{(2n)!}B_{2n}2^{2n-1}\pi^{n}(2n^2-n)(n-1)!</math>

其中''B<sub>n</sub>''為第''n''個[[伯努利數]]。

例如：
:<math>\xi(2) = {\pi ^2\over 6} </math>

== 級數表示式 ==

<math>\frac{d}{dz} \ln \xi \left(\frac{-z}{1-z}\right) =  \sum_{n=0}^\infty \lambda_{n+1} z^n </math>

其中

<math> \lambda_n = \frac{1}{(n-1)!} \left. \frac{d^n}{ds^n} 
\left[s^{n-1} \log \xi(s) \right] \right|_{s=1} = \sum_{\rho} \left[1- 
\left(1-\frac{1}{\rho}\right)^n\right]  </math>

== 相關條目 ==
* [[黎曼ζ函數]]

== 參考文獻 ==
{{reflist}}

[[Category:Ζ函數與L函數]]
[[Category:特殊函数|R]]
[[Category:伯恩哈德·黎曼]]

{{Math-stub}}