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{{No footnotes|time=2022-07-06T08:50:51+00:00}}
{{NoteTA
|G1=Geography
}}
[[File:Mercator 1569.png|thumb|200px|right|'''麥卡托世界地图'''（1569年）]]
[[File:Mercator projection SW.jpg|thumb|400px|right|以麥卡托投影法呈現的世界地圖。]]
'''麥卡托投影法'''（{{lang-en|Mercator projection}}），又稱'''-{zh-cn:麦卡托; zh-tw:墨卡托}-投影法'''、'''正軸等角圓柱投影'''，是一種等角的圓柱形[[地圖投影法]]。

本投影法得名於[[法蘭德斯]](佛蘭德)出身的[[地理學家]][[傑拉杜斯·麥卡托]]，他於1569年發表長202公分、寬124公分以此方式繪製的世界地圖。在以此投影法繪製的地圖上，將地球在平面展開，[[經線|經]][[緯線]]於任何位置皆垂直相交，使[[世界地圖]]可以繪製在一個[[長方形]]，地圖的任一點在各種方向的長度均相等。由於可顯示任兩點間的正確方位，指出真實的經緯度，航海用途的[[海圖]]、[[航路圖]]大都以此方式繪製。在该投影中线型比例尺在图中任意一点周围都保持不变，從而可以保持大陆轮廓投影-{zh-hans:后;zh-hant:後}-的角度和形状不变（即[[等角投影|等角]]）；但麥卡托投影会使面积产生变形，[[赤道]]地區變化最小，[[南极|南]][[北极|北]]兩極的變形最大，但因為在[[南回归线|南]][[北回归线|北]]迴歸線之間影響很少，而這是多數航線所在區域，所以被廣泛用來編製地圖。

== 数学计算 ==
[[File:Gudermannian.svg|thumb|231px|right|地图上纵向方位（图中的横轴）和纬度（图中的纵轴）的关系。]]

下列公式在使用墨卡托投影的地图中，从[[纬度]]''φ''和[[经度]]''λ''（其中''λ''<sub>0</sub>是[[本初子午線]]）推导为[[坐标系]]中的坐标''x''和''y''。

这是[[古德曼函数]]的逆推导：

:<math>
\begin{align}
x & = \lambda - \lambda_0 \\
y & = \ln \left(\tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\varphi}{2} \right) \right) \\
  & = \frac {1} {2} \ln \left( \frac {1 + \sin(\varphi)}{1 - \sin(\varphi)} \right) \\
  & = \tanh^{-1} \left( \sin(\varphi)\right) \\
  & = \sinh^{-1} \left( \tan(\varphi)\right) \\
  & = \ln \left(\tan(\varphi) + \sec(\varphi)\right).
\end{align}
</math>

这是古德曼函数：

:<math>
\begin{align}
\varphi    & = 2\tan^{-1}(e^y) - \frac{\pi}{2} \\
        & = \tan^{-1}(\sinh(y)) \\
\lambda & = x + \lambda_0.
\end{align}
</math>

比例尺与纬度''φ''的[[正割]]成比例，越趋向[[极地]]（''φ''&nbsp;=&nbsp;±90°）面积变形越大。此外，由公式可知，极点处的''y''值为正负无穷大。

== 公式推导 ==
[[File:Usgs map mercator.svg|right|frame|麥卡托投影是一种等角投影。]]
假设[[地球]]为正球形。（实际上并非为正球形，而是有[[扁率]]的，但制作小比例尺地图时误差可忽略不计。若需更精确，可插入等角[[纬线]]。）我们需要将经纬度坐标（''λ'',&nbsp;''φ''）转换为[[笛卡尔]]坐标(''x'',&nbsp;''y'')，求以赤道为基准的切柱面投影（即''x''&nbsp;=&nbsp;''λ''），并保持形状不变，故：

:<math>\frac{\partial x}{\partial \lambda} = \cos(\varphi) \frac{\partial y}{\partial \varphi}</math>

:<math>\frac{\partial y}{\partial \lambda} = -\cos(\varphi) \frac{\partial x}{\partial \varphi}</math>

从 ''x'' = ''λ'' 可知

:<math>\frac{\partial x}{\partial \lambda} = 1</math>

:<math>\frac{\partial x}{\partial \varphi} = 0</math>

给出

:<math>1 = \cos(\varphi) \frac{\partial y}{\partial \varphi}</math>

:<math>0 = \frac{\partial y}{\partial \lambda}</math>

因此，''y''是''φ''的唯一函数，且可得到<math>y'=\sec\varphi</math>，由[[积分表]]

:<math>y = \ln(|\sec(\varphi) + \tan(\varphi)|) + C.\,</math>

在地图中''φ'' = 0得到''y'' = 0，所以取''C'' = 0.

[[File:Tissot mercator.png|thumb|right]350px|以麥卡托投影法繪製的地圖。]]

==錯覺==
由於麥卡托投影在高緯度過分放大，低緯度又過分縮小，因此會產生有趣的錯覺。比如世界第一大島高緯度的[[格陵蘭]]比[[澳洲]]看起來還大好幾倍。世界第二大島低緯度的[[新幾內亞]]和[[日本]]差不多大小。然而新幾內亞島面積足足是日本的2倍。

以下是實際面積（單位：平方公里）
*澳洲：7,692,024平方公里
*格陵蘭：2,166,086平方公里
*日本：378,000平方公里
*新幾內亞島：786,000平方公里

==参见==
*[[地图学]]
*[[地图投影]]
*{{en-link|摩尔维特投影|Mollweide projection}}
*[[海图]]
*[[罗宾森投影]]
*[[横轴墨卡托投影]]
*[[通用横轴墨卡托投影]]（UTM）
*[[高尔-彼得斯投影|高爾-彼得斯投影]]
*[[南上北下地圖]]
*{{en-link|斜轴墨卡托投影|Space-oblique Mercator projection}}
*[[Web墨卡托投影]]

==參考資料==
{{wikt|圆柱投影}}
<div class="references-small">
<references />
*{{cite book | author=Snyder, John P. | title=Map Projections - A Working Manual. U.S. Geological Survey Professional Paper 1395 | publisher =United States Government Printing Office, Washington, D.C | year=1987}}可至[https://web.archive.org/web/20110501194521/http://pubs.er.usgs.gov/pubs/pp/pp1395 USGS pages]下载。
*{{cite book | author=Monmonier, Mark | title=Rhumb Lines and Map Wars | url=https://archive.org/details/rhumblinesmapwar00monm | location=Chicago | publisher=The University of Chicago Press |year=2004}}
*Needham, Joseph (1986). ''Science and Civilization in China: Volume 3; Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth''. Taipei: Caves Books Ltd.
*Needham, Joseph (1986). ''Science and Civilization in China: Volume 4, Physics and Physical Technology, Part 3, Civil Engineering and Nautics.'' Taipei: Caves Books Ltd.
</div>
*A Look at the Mercator Projection https://www.gislounge.com/look-mercator-projection/{{Wayback|url=https://www.gislounge.com/look-mercator-projection/ |date=20180322015936 }}

{{Authority control}}
[[category:地圖投影法]]
[[Category:16世纪发明]]