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{{微积分学}}

'''斯通-[[魏尔施特拉斯]]逼近定理'''（Stone–Weierstrass theorem）有两个：

*[[闭区间]]上的[[连续函数]]可用[[多项式]][[级数]][[一致逼近]]。
*[[闭区间]]上周期为<math>2\pi</math>的[[连续函数]]可用[[三角函数]][[级数]]一致逼近。

第一逼近定理可以推广至<math>\mathbb{R}^n</math>上的[[有界集合|有界]][[闭集]]

==证明==
*第一逼近定理与第二逼近定理可以互相推导<ref>{{Cite book | author = 柯朗 | author2 = 希尔伯特 | title = 数学物理方法 | location = 北京 | publisher = 科学出版社 | year = 2011 | pages = 57-58 | ISBN = 978-7-03-031361-4}}</ref><ref>{{Cite book | author = 菲赫金哥尔茨 | others = 路见可, 余家荣, 吴亲仁 译 | title = 微积分学教程 | volume = 3 | location = 北京 | publisher = 高等教育出版社 | year = 2006 | pages = 480-481 | ISBN = 978-7-04-018305-4}}</ref>。
*第二逼近定理的证明：
设<math>f(t)</math>为周期为<math>2\pi</math>的连续函数，定义<math>f_a(t) = \sum _{n=-\infty}^{+\infty} c_n a^{\left| n\right|} e^{int}</math>为一[[三角级数]]。
首先证明<math>\left\{{e^{int}}\right\}_{n=-\infty}^{+\infty}</math>，为一个[[正交]]函数系：

<math>\langle e^{int},e^{imt} \rangle = \frac{1}{2\pi}\int _{0}^{2\pi} e^{i(n-m)t}\, dt = 0 </math>

<math>\langle e^{int},e^{int} \rangle = ||e^{int}||^2 = \frac{1}{2\pi} \int _{0}^{2\pi}\left|e^{int}\right|^2\, dt = 1 </math>(因为<math>\left| e^{int}\right| = 1</math>)。
故令<math>f(t) = \sum _{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{int}</math>，于是我们可以求出<math>c_n = \langle f(t),e^{int} \rangle = \frac{1}{2\pi}\int _{2\pi}^{0} f(t) e^{-int}\, dt </math>。
将<math>c_n</math>代入 <math>f_a(t)</math> 的定义式中，有：

<math>f_a(t)= \frac{1}{2\pi}\int _{2\pi}^{0} (\sum _{n=-\infty}^{+\infty} a^{\left| n\right|} e^{in(t-s)})f(s)\, ds </math>。

下面对积分号中的和式S求和，令<math>w = ae^{i(t-s)}</math>，那么就有：<math>S=...+\bar{w}^2+\bar{w}+1+w+w^2+...</math>，分成正负两部分求和，可知:

<math>S = 1 + W + \bar{W} = 1 + 2Re\{W\} = \frac{1-a^2}{1 - 2a\cos(t-s)+ a^2}</math>
代回原积分，有<math>f_a(t) = \frac{1}{2\pi}\int _{2\pi}^{0}\frac{1-a^2}{1 - 2a\cos(t-s)+ a^2}f(s) \, ds</math>，这就是f(s)的[[泊松积分]]。其中<math>p_a(\theta) = \frac{1}{2\pi}\frac{1-a^2}{1 - 2a\cos(\theta)+ a^2} </math>称为'''泊松核'''。故有：

<math>f_a(t)=\int _{-\pi}^{\pi}p_a(x)f(t-x)\,dx</math>

我们要检验的的是<math>\left|f_a(t)-f(t)\right|</math>在<math>a\to 1</math>时的情况，可以证明：

<math>\left|f_a(t)-f(t)\right|< \int _{-\pi}^{\pi}p_a(x)\left|f(t-x)-f(t)\right|\,dx</math>

由<math>f(t)</math>的[[一致连续]]性，可以证明，上式在<math>a\to 1</math>时，满足[[一致收敛]]的条件，故我们可以用<math>f_a(t)</math>来一致逼近<math>f(t)</math>。

==参阅==
*[[傅里叶级数]]

==参考资料==
{{refs}}

[[Category:微积分|W]]
[[Category:分析定理|W]]
[[Category:连续映射|W]]