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高斯-卢卡斯定理，又称卢卡斯定理，该定理描述了[[复数 (数学)|複]]系数[[多项式]]的一个性质：多项式[[导数]]的[[根 (数学)|根]]一定在原多项式的根所构成的[[凸包]]内。

这一结论曾在1836年被[[高斯]]直接使用，1874年由{{Tsl|en|Félix Lucas|菲利克斯·盧卡斯}}证明<ref>{{cite journal|author = Félix Lucas|title = Sur une application de la Mécanique rationnelle à la théorie des équations|journal = [[C.R. Hebd. Séances Acad. Sci.]]|volume = LXXXIX|year = 1879|pages = 224–226|url = http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3046j/f226|access-date = 2016-11-07|archive-date = 2023-03-01|archive-url = https://web.archive.org/web/20230301224202/https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3046j/f226|dead-url = no}}</ref>。

== 动机 ==
二次多项式<math>P(x) =ax^2+ bx +c</math> 的导数<math>P'</math>的根为原多项式<math>P</math>的两个根的平均数。

同样地，如果一个 <math> n</math>次多项式有 <math>n</math> 个两两不同的实值零点<math>x_1<x_2<...<x_n</math>，根据[[罗尔定理]]，其导数的每个零点都位于区间 <math>[x_1,x_n]</math>之中。

高斯-卢卡斯定理可以看成这一性质在复系数多项式上的推广。

== 表述 ==
设 <math> P</math> 是一个非常数的複系数多项式，那么<math>P'</math>的所有根都属于由<math>P</math>的根构成的凸包。

== 证明 ==
将多项式函数P写成复数下的不可约形式：<math>P(z)= c\prod_{i=1}^r (z-a_i)^{n_i}</math> ，其中复数<math>c</math> 是多项式的主系数、<math>a_i</math> 是多项式的根、<math>n_i</math> 为各个根的重数。

首先注意到：<center class=""> <math> \frac{P^\prime(z)}{P(z)}= \sum_{i=1}^r\frac{n_i}{z-a_i}</math> </center>假设复数<math>z</math>满足：<center class=""><math> P^\prime(z)=0\quad\hbox{且}\quad P(z)\ne0,</math></center>
因此：
<center class=""><math>   \sum_{i=1}^r\frac{n_i}{z-a_i}=0\quad </math></center> 乘以共轭取模<center class=""><math> \quad 
\ \sum_{i=1}^rn_i\frac{\overline{z}-\overline{a_i} } {\vert z-a_i\vert^2}=0,</math></center>写成如下形式：<center class=""><math>\left(\sum_{i=1}^r\frac{n_i}{\vert z-a_i\vert^2}\right)\overline{z}= \sum_{i=1}^r\frac{n_i}{\vert z-a_i\vert^2}\overline{a_i} .</math></center>

此时，可以将<math>z</math>看成是<math>n</math>个位于 <math>a_i</math>的质点的重心，因此在其构成的凸包内。

另一种<math>P(z)=0</math>情况下的证明是显然的。

== 参考 ==
<references />

== 相关定理 ==
* Théorème de Marden
* [[施图姆定理]]
* Conjecture d'Iliev-Sendov

[[Category:凸分析]]
[[Category:包含证明的条目]]
[[Category:复分析定理]]
[[Category:多项式定理]]