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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
[[File:Gaussian integer lattice.svg|thumb|高斯整數是複數面上的整點。]]
{{Numbers}}

'''高斯整數'''是[[實數]]和[[虛數]]部分都是[[整數]]的[[复数 (数学)|複數]]。所有高斯整數組成了一個[[整域]]，寫作<math>\mathbf{Z}[i]</math>，是個不可以轉成[[有序環]]的[[欧几里得整环]]。
:<math>\mathbf{Z}[i] = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Z} \}</math>

高斯整數的[[范数 (域论)|范数]]都是非負整數，定義為
:<math>N(zw) = N(z)N(w)</math>

<math>\mathbf{Z}[i]</math>[[單位元]]<math>1, -1, i, -i</math>的範數均為<math>1</math>。

== 高斯整環 ==
高斯整数形成了一个[[唯一分解整环]]，其[[可逆元]]为<math>1, -1, i, -i</math>。
=== 質元素 ===
:<math>\mathbf{Z}[i]</math>的[[素元素]]又称为'''[[高斯質數]]'''。

高斯整数<math>a + bi</math>是素数[[当且仅当]]：
* <math>a, b</math>中有一个是零，另一个是形为<math>4n + 3</math>或其相反数<math>-(4n + 3)</math>的素数

或
* <math>a, b</math>均不为零，而<math>a^2 + b^2</math>为素数。

[[File:gauss-primes-768x768.png|thumb|高斯素数的分布]]

以下给出这些条件的证明。

[[必要条件]]的证明为：仅当高斯整数的范数是素数，或素数的平方时，它才是高斯素数。这是因为对于任何高斯整数<math>g</math>，<math>g \mid g\overline{g} = N(g)</math>。现在，<math>N(g)</math>是整数，因此根据[[算术基本定理]]，它可以分解为素数<math>p_{1}p_{2}\cdots p_{n}</math>的乘积。根据素数的定义，如果<math>g</math>是素数，则它可以整除<math>p_i</math>，对于某个<math>i</math>。另外，<math>\overline{g}</math>可以整除<math>\overline{p_i} = p_i</math>，因此<math>N(g) = g\overline{g} \mid p_{i}^{2}</math>。于是现在只有两种选择：要么<math>g</math>的范数是素数，要么是素数的平方。

如果实际上对于某个素数<math>p</math>，有<math>N(g) = p^2</math>，那么<math>g</math>和<math>\overline{g}</math>都能整除<math>p^2</math>。它们都不能是可逆元，因此<math>g = pu</math>，以及<math>\overline{g} = p\overline{u}</math>，其中<math>u</math>是可逆元。这就是说，要么<math>a = 0</math>，要么<math>b = 0</math>，其中<math>g = a + bi</math>。

然而，不是每一个素数<math>p</math>都是高斯素数。<math>2</math>就不是高斯素数，因为<math>2 = (1 + i)(1 - i)</math>。高斯素数不能是<math>4n + 1</math>的形式，因为根据[[费马平方和定理]]，它们可以写成<math>a^2 + b^2</math>的形式，其中<math>a</math>和<math>b</math>是整数，且<math>a^2 + b^2 = (a + bi)(a - bi)</math>。剩下的就只有形为<math>4n + 3</math>的素数了。

形为<math>4n + 3</math>的素数也是高斯素数。假设<math>g = p + 0i</math>，其中<math>p = 4n + 3</math>是素数，且可以分解为<math>g = hk</math>。那么<math>p^2 = N(g) = N(h)N(k)</math>。如果这个分解是非平凡的，那么<math>N(h) = N(k) = p</math>。但是，任何两个平方数的和都不能写成<math>4n + 3</math>的形式。因此分解一定是平凡的，所以<math>g</math>是高斯素数。

类似地，<math>i</math>乘以一个形为<math>4n + 3</math>的素数也是高斯素数，但<math>i</math>乘以形为<math>4n + 1</math>的素数则不是。

如果<math>g</math>是范数为素数的高斯整数，那么<math>g</math>是高斯素数。这是因为如果<math>g = hk</math>，那么<math>N(g) = N(h)N(k)</math>。由于<math>N(g)</math>是素数，因此<math>N(h)</math>或<math>N(k)</math>一定是1，所以<math>h</math>或<math>k</math>一定是可逆元。

=== 作为整闭包 ===
高斯整数环是<math>\mathbf{Z}</math>在[[高斯有理数]][[体 (数学)|域]]中的[[整闭包]]，由实数部分和虚数部分都是[[有理数]]的复数组成。

=== 作为欧几里德环 ===
在图中很容易看到，每一个[[复数 (数学)|复数]]与最近的高斯整数的距离最多为<math>\frac{\sqrt 2}{2}</math>个单位。因此，<math>\mathbf{Z}[i]</math>是一个[[欧几里德环]]，其中<math>v(z) = N(z)</math>。所以，該環尤其是[[主理想整環]]，其理想皆形如<math>\langle a+b i\rangle</math>。若<math>(a,b)=1</math>，則對應的商是：
:<math>\mathbb{Z} [i]/{\left\langle a+bi \right\rangle} \cong \mathbb{Z}_{a^2+b^2}\ = \ \{[0],[1],[2] \cdots ,[a^2+b^2-1]\}.</math><ref>{{cite web| url = http://www.cqvip.com/Read/Read.aspx?id=4353758| title = 存档副本| access-date = 2022-01-01| archive-date = 2015-09-23| archive-url = https://web.archive.org/web/20150923224623/http://www.cqvip.com/Read/Read.aspx?id=4353758| dead-url = no}}</ref>

== 未解决的问题 ==
[[高斯圆问题]]是中心为原点、半径为给定值的圆内有多少[[格点]]的问题。它本身并不是关于高斯整数的，但等价于确定范数小于某个给定值的高斯整数的数目。

关于高斯整数，还有一些猜想和未解决的问题，例如：

实数轴和虚数轴含有无穷多个高斯素数<math>3, 7, 11, 19, \dots</math>。在复平面上，还存在任何其它的直线上有无穷多个高斯素数吗？特别地，实数部分为<math>1</math>的直线上存在无穷多个高斯素数吗？

在高斯素数上行走，步伐小于某个给定的值，可以走到无穷远吗？

== 參見 ==
* [[艾森斯坦整數]]
* [[费马平方和定理]]
* [[二次互反律]]

== 参考文献 ==
{{reflist}}
* C. F. Gauss, Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda., Comm. Soc. Reg. Sci. Gottingen 7 (1832) 1-34; reprinted in Werke, Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1973, pp. 93-148.
* [https://web.archive.org/web/20070315192513/http://www.ems-ph.org/journals/show_pdf.php?issn=0013-6018&vol=53&iss=1&rank=2 从数到环：环论的早期历史]，由Israel Kleiner所作 (Elem. Math. 53 (1998) 18 – 35)
* {{citation | last1 = Ribenboim | first1 = Paulo | title = The New Book of Prime Number Records | publisher = Springer | location = New York | date = 1996 | isbn = 0-387-94457-5}}
{{代數數}}
{{數的系統}}
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[[Category:复数]]
[[Category:分圆域]]
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