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{{For|[[数论]]的「高斯引理」|高斯引理}}在[[代数]]學中 ，'''高斯引理'''<ref>Article 42 of [[Carl Friedrich Gauss]]'s ''[[Disquisitiones Arithmeticae]]'' (1801)</ref>以[[卡爾·弗里德里希·高斯|高斯]]命名，是关于[[整数|整]][[係數]][[多項式|多项式]]的命題，或者更一般地说，是关于一个[[唯一分解整環]]的敘述。 

高斯的引理断言两个[[本原多项式|本原多項式]]的乘積仍是本原多項式（本原多項式是指：係數的[[最大公因數]]為1的整係數多項式）。 

高斯引理有一個推论，有时也被称为高斯引理。其斷定一個本原多项式在整数上是[[不可约多项式|不可约的]] ，若且唯若它在[[有理数]]上是不可约的。  

== 整係數多項式版本 ==
當一個整係數多項式 <math>f(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0</math>的係數的最大公因數是1，我們稱其為''本原多項式''。那麼有以下高斯引理：

'''高斯引理 (本原版本).''' 兩個本原多項式的乘積仍是本原多項式。

'''证明：''' 

以下以反證法證明，假設存在<math>p</math>不是1，整除乘積 

設整係數多項式<math>f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_sx^s,g(x)=b_0+b_1x+\cdots+b_tx^t</math>都是本原的，並反設<math>h(x):=f(x)g(x)</math>不是本原多項式。 

於是<math>h(x)</math>是非本原的整係數多項式，因此可選整除<math>h(x)</math>所有係數的質數<math>p</math>。 

但<math>f(x),g(x)</math>皆是本原的，從而可分別選定<math>i\in\{0,\dots,s\},j\in\{0,\dots,t\}</math>為滿足<math>p\nmid a_i,p\nmid b_j</math>的最小整數（i.e.從0項開始出發）。現在我們知道<math>h(x)</math>的<math>i+j</math>項係數是 <blockquote> <math>\sum_{k=0}^{i+j}a_kb_{i+j-k}\equiv a_ib_j\not\equiv0\pmod{p}.</math> </blockquote> （乘積裏面先於<math>a_i, b_j</math>都是被<math>p</math>整除，所以只剩<math>a_ib_j</math>）根據假設，該項係數應該被<math>p</math>整除，矛盾，故得證。   

'''高斯引理 (不可約版本).''' 如果一非常數整係數多項式在有理係數[[多项式环|多項式環]]<math>\mathbb{Q}[x]</math>內可約，則他在整係數多項式環<math>\mathbb{Z}[x]</math>內也可約。   

'''证明：'''   

設<math>h(x)</math>是一在<math>\mathbb{Q}[x]</math>內可約的非常數整係數多項式。於是可取兩個非常數的有理係數多項式<math>f_1(x),g_1(x)</math>使得<math>h(x)=f_1(x)g_1(x)</math>。   

透過適當選取整數<math>a,b,c,d</math>，可以假設<math>\textstyle f_2(x):=\frac{a}{c}f_1(x),g_2(x):=\frac bdg_1(x)</math>皆是本原多項式（當然也就是整係數多項式）。   

由上一個引理，<math>f_2(x)g_2(x)=\textstyle\frac{ab}{cd}h(x)</math>也是本原多項式。於是<math>\textstyle\frac{cd}{ab}</math>是<math>h(x)</math>的係數的最大公因數，故<math>\textstyle\frac{cd}{ab}</math>是個整數。   

現在，我們有<math>h(x)=\textstyle\frac{cd}{ab}f_2(x)g_2(x)</math>且<math>\textstyle\frac{cd}{ab}</math>是整數，於是也就證明了<math>h(x)</math>在<math>\mathbb{Z}[x]</math>內也可約。   

== 參考資料 ==

[[Category:引理]]
[[Category:多项式定理]]