查看“︁高斯常數”︁的源代码

{{not|高斯引力常數}}
{{Infobox number
| name=高斯常數
| number=0.8346268
| symbol=<math>G</math>
| OEIS=A014549
| 發現者=[[卡爾·弗里德里希·高斯]]
| other name=
| type=[[無理數]]<br/>[[超越數]]
| define=<math> G = \frac{1}{\mathrm{agm}(1, \sqrt{2})}</math>
| root of=
| 連分數=[0; 1, 5, 21, 3, 4, 14, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 15, 1, 3, 8, 36...]{{OEIS|A053002}}
| series=
| basedata = {{Infobox number/base
| 二進制 = {{FractionalGaps|{{進制|2|0.83462684167407318628142973279904|precision=24}}|4|…}}
| 八進制 = {{FractionalGaps|{{進制|8|0.83462684167407318628142973279904|precision=24}}|4|…}}
| 十進位 = {{FractionalGaps|0.834626841674073186281429|4|…}}
| 十六進位 = {{FractionalGaps|{{進制|16|0.83462684167407318628142973279904|precision=24}}|4|…}}}}
}}

'''高斯常數'''符號為'''G'''，是[[1]]和[[2的算術平方根|根號2]]之[[算术-几何平均数]]的[[倒數]]：

: <math> G = \frac{1}{\mathrm{agm}(1, \sqrt{2})} = 0.8346268\dots.</math>

此[[數學常數]]得名自[[卡爾·弗里德里希·高斯]]，他在1799年5月30日發現

: <math> G = \frac{2}{\pi}\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1 - x^4}} </math>

因此

: <math> G = \frac{1}{2\pi}B( \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{2})</math>

其中''B''為[[Β函数|貝塔函數]]。

==和其他常數的關係==
高斯常數常用來表示[[Γ函数|<math>\color{blue}\Gamma(\frac{1}{4})</math>]]的數值。

: <math> \Gamma( \tfrac{1}{4}) = \sqrt{ 2G \sqrt{ 2\pi^3 } } </math>

換句話說

: <math> G = \frac{[\Gamma( \tfrac{1}{4})]^2}{2\sqrt{ 2\pi^3}} </math>

因為<math>\pi</math>和<math>\Gamma(\frac{1}{4})</math>互相[[代數獨立]]，且<math>\Gamma(\frac{1}{4})</math>為無理數，因此高斯常數為[[超越數]]。

===Lemniscate常數===
高斯常數常用來定義lemniscate常數，第一lemniscate常數為：

: <math> L_1\;=\;\pi G </math>

第二lemniscate常數為：

: <math> L_2\,\,=\,\,\frac{1}{2G} </math>

在計算[[伯努利雙紐線]]的[[弧长]]時會出現這些常數。

==其他公式==
以下是一個用[[Θ函數]]定義高斯常數的公式

: <math>G = \vartheta_{01}^2(e^{-\pi}) </math>

也可以用以下快速收斂的級數表示

: <math>G = \sqrt[4]{32}e^{-\frac{\pi}{3}}\left (\sum_{n = -\infty}^\infty (-1)^n e^{-2n\pi(3n+1)} \right )^2.</math>

高斯常數也可以用[[無窮乘積]]表示：

:<math>G = \prod_{m = 1}^\infty \tanh^2 \left( \frac{\pi m}{2}\right).</math>

在以下的定積分中也有高斯常數

: <math> {\frac{1}{G}} = \int_0^{\pi/2}\sqrt{\sin(x)}dx=\int_0^{\pi/2}\sqrt{\cos(x)}dx </math>

: <math> G = \int_0^{\infty}{\frac{dx}{\sqrt{\cosh(\pi x)}}} </math>

高斯常數的[[连分数]]為[0,&nbsp;1,&nbsp;5,&nbsp;21,&nbsp;3,&nbsp;4,&nbsp;14,&nbsp;...]. {{OEIS|id=A053002}}

==相關條目==
*{{link-en|Lemniscatic椭圆函数|Lemniscatic elliptic function}}

==參考資料==
*{{mathworld|urlname=GausssConstant|title=Gauss's Constant}}
* Sequences A014549 and A053002 in [[整數數列線上大全|OEIS]]

{{無理數導航}}
{{卡爾·弗瑞德呂希·高斯}}

[[Category:數學常數]]
[[Category:实数超越数]]