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[[數學]]中，'''高斯圓問題'''（{{lang-en|Gauss circle problem}}）問以[[原點]]為中心，<math>r</math>為[[半徑]]的圓內，有多少個{{le|整數點|Integer lattice}}。答案與圓的[[面積]]相近，因此，真正的問題是如何準確地描述點數與面積的差異。問題得名自數學家[[卡爾·弗里德里希·高斯]]。

== 問題 ==
考慮<math>\mathbb{R}^2</math>中以原點為中心和以<math>r\ge 0</math>為半徑的一個圓。高斯圓問題詢問該圓中有多少個點<math>(m,n)</math>使<math>m</math>和<math>n</math>都是整数。由於在[[笛卡爾坐標系]]中，這個圓的[[方程式]]是<math>x^2+y^2= r^2</math>，問題[[等價]]於詢問有多少對[[整數]]<math>m</math>和<math>n</math>使得

: <math>m^2+n^2\leq r^2.</math>

以<math>N(r)</math>表示輸入為<math>r</math>時的答案。以下第一行先列出<math>r</math>由<math>0</math>至<math>12</math>時，<math>N(r)</math>的值，第二行列出<math> \pi r^2 </math>[[四捨五入]]到最接近的[[整數]]，以作比較：

:: 1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317, 377, 441 {{OEIS|A000328}}
:: 0, 3, 13, 28, 50, 79, 113, 154, 201, 254, 314, 380, 452 {{OEIS|A075726}}

== 解決方案和猜想的上下界 ==
<math>N(r)</math>大概是<math>\pi r^2</math> ，半徑範圍內的區域<math>r</math> 。這是因為平均而言，每個單位正方形包含一個格子點。因此，圓中格子點的實際數量大約等於其面積， <math>\pi r^2</math> 。因此，應該預期

: <math>N(r)=\pi r^2 +E(r)\,</math>

對於某些錯誤項<math>E(r)</math>具有相對較小的[[絕對值]]。找到正確的[[上限]]<math>\mid E(r)\mid</math>因此是問題採取的形式。注意<math>r</math>不必是整數。後<math>N(4)=49 </math>一個有<math>N(\sqrt{17})=57 ,N(\sqrt{18})=61, N(\sqrt{20})=69, N(5)=81 .</math>在這些地方<math> E(r)</math>之後它減少（以<math> 2 \pi r </math> ），直到下一次增加為止。

高斯設法證明<ref name="Hardy">G.H. Hardy, ''Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed.'' New York: Chelsea, (1959), p.67.</ref>

: <math>| E(r) |\leq 2\sqrt{2}\pi r.</math>

[[瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基|谢尔品斯基]]将指數改进至<math>2/3</math>，以[[大O符号]]表示，即證明<math>|E(r)| = O(r^{2/3})</math>，{{le|约翰内斯·范德科皮特|Johannes van der Corput}}引进了他关于外尔和的估计，从而证明了指數為<math>37/56</math>的結果（此數略小於<math>2/3</math>）。以后不少数学家改进这一结果。中国数学家[[华罗庚]]与[[陈景润]]分别证得指數為<math>13/20</math>與<math>24/37</math>的上界。<ref>{{Cite book|chapter=数学大辞典|url=http://worldcat.org/oclc/1124964888|publisher=Ke xue chu ban she|date=2017|isbn=7-03-053336-4|oclc=1124964888|last=王元.|title=高斯圆问题}}</ref>
{{Unsolved|數學|設<math>E(r)</math>表示以原點為圓心，<math>r</math>為半徑的圓，其面積與圓內整點數之差，則使<math>|E(r)| = O(r^{t+\varepsilon})</math>對一切<math>\varepsilon > 0</math>皆成立的最小<math>t</math>值為何？}}
下界方面，[[戈弗雷·哈罗德·哈代|哈代]]<ref>G.H. Hardy, ''On the Expression of a Number as the Sum of Two Squares'', Quart. J. Math. '''46''', (1915), pp.263&#x2013;283.</ref>和Landau分別獨立證明

: <math>| E(r) |\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right),</math>

其中用到[[大O符号|小o表示]]。據推測<ref name="Guy">R.K. Guy, ''Unsolved problems in number theory, Third edition'', Springer, (2004), pp.365&#x2013;366.</ref>，正確的界線是

: <math>| E(r) |=O\left(r^{1/2+\varepsilon}\right).</math>

設<math>E(r)\le Cr^t</math>總成立，則關於<math>t</math>的最小可能值<math>t_0</math>，目前所知的結果是

: <math>\frac{1}{2}< t_0\leq\frac{131}{208}=0.6298\ldots,</math>

其中下界是1915年Hardy和Landau所證，上界於2000年由{{le|馬丁·赫克斯利|Martin Huxley}}证明。<ref>M.N. Huxley, ''Integer points, exponential sums and the Riemann zeta function'', Number theory for the millennium, II (Urbana, IL, 2000) pp.275&#x2013;290, A K Peters, Natick, MA, 2002, {{MathSciNet|1956254}}</ref>

== 確切形式 ==
<math>N(r)</math>的值可以由幾個形式給出，例如以[[下取整函數]]表示成以下和式： <ref>D. Hilbert and S. Cohn-Vossen, ''Geometry and the Imagination'', New York: Chelsea, (1999), pp.37&#x2013;38.</ref>

: <math>N(r)=1+4\sum_{i=0}^\infty \left(\left\lfloor\frac{r^2}{4i+1}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{r^2}{4i+3}\right\rfloor\right).</math>

這是雅可比{{le|二平方和定理|Sum of two squares theorem}}的結果，該定理來自{{le|雅可比三重積|Jacobi triple product}}。<ref>{{Cite journal|last=Hirschhorn|first=Michael D.|date=2000|title=Partial fractions and four classical theorems of number theory|jstor=2589321|journal=[[美國數學月刊]]|volume=107|issue=3|pages=260–264|doi=10.2307/2589321|citeseerx=10.1.1.28.1615}}</ref>

如果將{{le|平方和函數|Sum of squares function}}<math>r_2(n)</math>定義為將自然數<math>n</math>寫為兩個整數[[平方]]之和的方法數，則<math>r_2(n)/4</math>是一个积性函数<ref>{{cite OEIS|sequencenumber= A002654}}</ref>，且可寫出較簡單的和式：<ref name="Hardy">G.H. Hardy, ''Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed.'' New York: Chelsea, (1959), p.67.</ref>

: <math>N(r)=\sum_{n=0}^{r^2} r_2(n)</math>

Hardy首次發現了以下的最新成果： <ref>{{Cite book|last=Landau|first=Edmund|title=Vorlesungen über Zahlentheorie - 2. Band|publisher=Verlag S. Hirzel|date=1927|page=189}}</ref>

: <math> N(x)-\frac {r_2(x^2)}2 = \pi x^2 + x \sum_{n=1}^\infty \frac {r_2(n)}{\sqrt {n}} J_1(2 \pi x \sqrt n), </math>

其中<math>J_1</math>表示第一種階數為1的[[貝塞爾函數]]。

== 概論 ==
儘管最初的問題要求在一個圓內的整數點個數，但沒有理由不考慮其他形狀，例如圓錐形。的確，狄利克雷（Dirichlet）的[[除數問題]]是用[[矩形雙曲線]]替換圓的等價問題。同樣，可以將問題從二維擴展到更高的[[維度]]，並在球體或其他物體中求整數。關於這些問題有大量文獻。如果忽略幾何學而僅將問題視為Diophantine不等式的代數之一，則可能會增加問題中出現的指數，從[[平方]]到[[立方]]，甚至更高次方。

=== 原始圓問題 ===
另一個概括是計算[[互質]][[整數解]]數量<math>m,n</math>的[[不等式]]

: <math>m^2+n^2\leq r^2.\,</math>

此問題稱為原始圓問題，因為它涉及搜索原始圓問題的原始解。可以直觀地理解為在原點的[[歐幾里得果園]]中可見多少距離為r的樹木的問題。如果表示此類解決方案的數量<math>V(r)</math>然後的值<math>V(r)</math>為了''<math>r</math>''取小整數值是

: 0，4，8，16，32，48，72，88，120，152，192 （OEIS中的數列A175341）

使用與普通的高斯圓問題相同的方法，以及兩個整數[[互質]]的[[機率]]為<math>6/\pi^2</math>，容易證明

: <math>V(r)=\frac{6}{\pi}r^2+O(r^{1+\varepsilon}).</math>

與普通的圓問題一樣，原始圓問題的問題部分在於減少誤差項中的指數。如果假設黎曼猜想正確，目前最著名的指數是<math>221/304+\varepsilon</math>。在不假設[[黎曼猜想]]正確的情況下，最著名的[[上限]]是

: <math>V(r)=\frac{6}{\pi}r^2+O(r\exp(-c(\log r)^{3/5}(\log\log r^2)^{-1/5}))</math>

其中<math>c</math>為正常數 。 <ref name="jw02">J. Wu, ''On the primitive circle problem'', Monatsh. Math. '''135''' (2002), pp.69&#x2013;81.</ref>特別是，目前不假設[[黎曼猜想]]正確的情況下，對於任何<math>\varepsilon>0</math>，<math>1-\varepsilon</math>的[[誤差項]]沒有限制。

== 參考文獻 ==
{{Reflist}}

== 外部鏈接 ==

* {{MathWorld|urlname=GausssCircleProblem|title=Gauss's circle problem}}
[[Category:数学中未解决的问题]]
[[Category:算術函數]]