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在[[數論]]中，'''高斯和'''是一種[[單位根]]的有限和，可抽象地表為
: <math>G(\chi, \psi) = \sum_{r \in R} \chi(r) \psi(r)</math>

其中 <math>R</math> 為有限[[交換環]]，<math>\psi: (R,+) \to \mathbb{S}^1</math> 為同態，<math>\chi: (R^\times,*) \to \mathbb{S}^1</math> 亦為同態，對於 <math>r \notin R^\times</math>，可定義 <math>\chi(r) = 0</math>。

這類有限和常見於[[代數數論]]與[[解析數論]]。此時通常取 <math>R := \Z/n\Z</math>，特徵 <math>\psi</math> 必為 <math>\psi(x) = e^{2\pi i \alpha x/n}</math> 之形式（<math>\alpha \in \Z</math>），此處的 <math>\chi</math> 不外是一個[[狄利克雷特徵]]。這類高斯和有時也記為 <math>\tau_{\alpha}(\chi)</math>，出現於[[狄利克雷L函數]]的函數方程中。

高斯和的[[絕對值]]可透過[[調和分析|抽象調和分析]]的方法導出，其確切值則較難確定。[[高斯]]首先算出了'''二次高斯和'''，此時取 <math>R = \Z/p\Z</math>，其中 <math>p</math> 為[[素數]]，並取 <math>\chi(x) := \left( \frac{x}{p} \right)</math> 為[[勒讓德符號]]。高斯和遂化為下述[[指數和]]：
: <math>\tau_\alpha = \sum_{x=0}^{p-1} e^{2\pi i \alpha x^2/p}</math>
高斯得到的結果是：
: <math>\tau_\alpha =
\begin{cases}
  \left(\frac{\alpha}{p}\right) \sqrt{p}, & p \equiv 1 \mod 4 \\
  \left(\frac{\alpha}{p}\right) i \sqrt{p}, & p \equiv 3 \mod 4
\end{cases}
</math>

由此可導出[[二次互反律]]的一種證明；二次高斯和也與[[Theta 函數]]理論相關。

==文獻==
*{{cite book | author = Ireland and Rosen | title = A Classical Introduction to Modern Number Theory | publisher = Springer-Verlag | year = 1990 | id=ISBN 0-387-97329-X }}
*{{springer|id=G/g043540|title=Gauss sum|author=B.M. Bredikhin}}

[[Category:解析數論|G]]
[[Category:分圆域]]