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'''高斯判别法'''是正项级数[[审敛法|敛散性的一种判别方法]]，方法是将级数相邻项的比（<math>\frac{a_n}{a_{n+1}}</math>）写成<math>\frac{1}{n}</math>的线性函数和余项（与有界量相乘的<math>\frac{1}{n^2}</math>）之和，分析各系数来判断级数收敛与否，可以视作[[达朗贝尔判别法]]、[[拉阿伯判别法]]和[[贝特朗判别法]]的推论。
{{无穷级数}}
==定理==

设<math> \sum_{n=1}^\infty a_n </math>是要判断审敛性的级数，其中（至少从某一项开始）<math> a_n>0 </math>。倘若其相邻项比值<math>\frac{a_n}{a_{n+1}}</math>可以被表示为：

<math>\frac{a_n}{a_{n+1}} = \lambda + \frac{\mu}{n} + \frac{\theta_n}{n^2}</math>

其中<math>\lambda</math>和<math>\mu</math>都是常数，而<math>\theta_n</math>是一个有界的序列，那么
<ref>{{cite book |author=Konrad Knopp |date=1954 |title=Theory and Application of Infinite Series |url=https://archive.org/details/theoryandapplica031692mbp/page/n5 |location=London |publisher=Blackie & Son Ltd. |page= |isbn= }}</ref><ref>
{{cite journal |author=Sayel A. Ali|date=2008 |title=The mth Ratio Test: New Convergence Test for Series |journal=The American Mathematical Monthly |volume=115 |issue=6 |pages=514–524 |doi= |access-date=21 November 2018 }}</ref><ref>{{cite web |url= http://sites.math.washington.edu/~morrow/336_12/papers/kyle.pdf |title= The mth Ratio Convergence Test and Other Unconventional Convergence Tests |author= Kyle Blackburn |date= 4 May 2012 |website=  |publisher= University of Washington College of Arts and Sciences |access-date= 27 November 2018 |quote=  |archive-date= 2021-05-06 |archive-url= https://web.archive.org/web/20210506224515/http://sites.math.washington.edu/~morrow/336_12/papers/kyle.pdf |dead-url= no }}</ref><ref>{{cite thesis |author=František Ďuriš |date=2009 |title=Infinite series: Convergence tests |type=Bachelor's thesis |publisher=Katedra Informatiky, Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky, Univerzita Komenského, Bratislava |url=http://www.dcs.fmph.uniba.sk/bakalarky/obhajene/Detail.php?id=90 |access-date=28 November 2018 |archive-date=2010-09-20 |archive-url=https://web.archive.org/web/20100920041042/http://www.dcs.fmph.uniba.sk/bakalarky/obhajene/Detail.php?id=90 |dead-url=no }}</ref><ref>{{cite book |author=Г. М. 菲赫金哥尔茨 |title=微积分学教程（第二卷）（第8版）|edition=第二版|date=2006|page=230|isbn=978-7-04-018304-7}}</ref>：
* 当 <math>\lambda>1</math>或<math>\lambda=1,\mu>1</math>时，级数收敛；
* 当<math>\lambda<1</math>或<math>\lambda=1,\mu\le 1</math>时，级数发散。

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!证明：
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*<math>\lambda\neq 1</math>时，因<math>\lim_{n\to\infty}{\frac{a_{n+1}}{a_n}}=\frac{1}{\lambda}</math>，可用[[达朗贝尔判别法]]判别；
*<math>\lambda=1</math>而<math>\mu\neq 1</math>时，因<math>\lim_{n\to\infty}{n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)}=\mu</math>，可用[[拉阿伯判别法]]判别；
*<math>\lambda=\mu=1</math>时，因<math>\lim_{n\to\infty}{\ln{(\frac{n^2 a_n}{a_{n+1}}-n^2-n)}}=\lim_{n\to\infty}{\frac{\ln{n}}{n}\theta_n}=0</math>，依据[[贝特朗判别法]]，级数发散。
|}

==参考文献==
{{reflist}}

[[Category:审敛法]]
[[Category:级数]]