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{{NoteTA
|G1=Physics
}}
[[Image:Gaussian beam w40mm lambda30mm.png|thumb|250px|高斯光束的瞬时辐照度電腦繪圖]]
[[File:Laser gaussian profile.svg|thumb|250px|场强（蓝色）和辐照度（黑色）在坐标轴上的分布情况]]
在[[光学]]中，'''高斯光束'''（{{lang-en|'''Gaussian beam'''}}）是横向[[电场]]以及[[辐照度]]分布近似满足[[高斯函数]]的[[电磁波]]光束。许多[[激光]]都近似满足高斯光束的条件，在这种情况中，激光在[[光谐振腔]]中以TEM<sub>00</sub>波模（横向基模）传播。当它在满足近衍射极限的镜片中发生折[[折射|射]]时，高斯光束会变换成另一种不同参数的高斯光束，因此，高斯光束是激光光学中一种方便、广泛应用的模型。

描述高斯光束的数学函数是[[亥姆霍兹方程]]的一个[[近轴近似]]解（属于[[小角近似]]的一种）。这个解具有[[高斯函数]]的形式，代表了光束中电场分量的复振幅。尽管电磁波的传播包括[[电场]]和[[磁场]]两部分，研究其中任一个场，就足以描述波在传播时的性质。

高斯光束中，场的行为可以通过几个参数加以刻画，如光斑大小，曲率半径，古依相移等。

亥姆霍兹方程的近轴近似解可能不止一个。笛卡尔坐标系下求解可得一类称为厄米-高斯模的解，在柱坐标中求解则得到一类称为拉盖尔-高斯模的解。对这两类解，最低阶都是高斯光束，高阶解则描述了光学谐振腔中的高阶横向模。

== 数学形式 ==
高斯光束作为电磁波的横向电磁模，通过求解近轴亥姆霍兹公式，可得电场的振幅

:<math>E(r,z) = E_0 \frac{w_0}{w(z)} \exp \left( \frac{-r^2}{w^2(z)}\right) \exp \left( -ikz -ik \frac{r^2}{2R(z)} +i \zeta(z) \right)\ , </math>

[[Image:Green laser pointer TEM00 profile.JPG|thumb|250px|纳米激光器产生的激光]]
这里
:<math>r</math> 为径向坐标，以光轴中心为参考点
:<math>z</math> 为轴向坐标，以光轴上光波最狭窄（束腰）位置为参考点
:<math>i</math> 为[[虚数单位]]（即 <math>i^2 = -1</math>）
:<math> k = { 2 \pi  \over   \lambda  } </math> 为[[波数]]（以“[[弧度]]/米”为单位）
:<math>E_0 = |E(0,0)|</math>
:<math>w(z)</math> 为当电磁场振幅降到轴向的1/''e''、强度降到轴向的1/''e''<sup>2</sup>的点的半径
:<math>w_0 = w(0)</math> 为激光的束腰宽度
:<math>R(z)</math> 为光波[[波前]]的曲率半径
:<math>\zeta(z)</math> 为轴对称光波的 Gouy 相移，对高斯光束的相位也有影响

此外，上式中默认忽略了含时项 <math display="inline">e^{i \omega t} </math> 。

对应的辐照度时域平均值为

:<math>I(r,z) =  { |E(r,z)|^2  \over  2 \eta   }  = I_0 \left( \frac{w_0}{w(z)} \right)^2 \exp \left( \frac{-2r^2}{w^2(z)} \right)\ , </math>

这里 <math>I_0 = I(0,0)</math> 为光波束腰中心处的辐照度。常数 <math>\eta  \,</math> 为光波所在传播介质中的{{link-en|波阻抗|Wave impedance}}。在真空中，<math> \eta = \eta_0 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} = 1/(\varepsilon_0 c) \approx 376.7 \ \mathrm{\Omega}  </math>。

== 波束参数 ==
高斯光束的许多性质由一系列波束参数决定，下面将分别予以介绍。
=== 束腰 ===
对于在自由空间传播的高斯光束，其{{link-en|腰斑|spot size}}位置的半径在光轴方向总大于一个最小值 <math>w_0</math>，这个最小值被称为束腰（beam waist）。[[波长]]为 <math>\lambda</math> 的光波的腰斑位置在 <math>z</math> 轴上的分布为

:<math>w(z) = w_0 \, \sqrt{ 1+ {\left( \frac{z}{z_\mathrm{R}} \right)}^2 }  \ . </math>

这里将 <math>z = 0</math> 定义为束腰的位置。

:<math>z_\mathrm{R} = \frac{\pi w_0^2}{\lambda}</math>

被称为[[瑞利距离]]。

=== 瑞利距离和共焦参数 ===
与束腰轴向距离等于瑞利距离 <math>z_R</math> 处的束宽为

:<math> w(\pm z_\mathrm{R}) = w_0 \sqrt{2}. \, </math>

这两点之间的距离称作[[共焦参数]]或光束的[[焦深]]。

:<math>b = 2 z_\mathrm{R} = \frac{2 \pi w_0^2}{\lambda}\ .</math>

=== 曲率半径 ===
<math>R(z)</math> 是光束波前的曲率半径，它是轴向距离的函数

:<math>R(z) = z \left[{ 1+ {\left( \frac{z_\mathrm{R}}{z} \right)}^2 } \right] \ . </math>

=== 光束偏移 ===
当 <math>z \gg z_\mathrm{R}</math>，参数 <math>w(z)</math> 与 <math>z </math> 呈线性关系，趋近于一条直线。这条直线与中央光轴的夹角被称为光束的“偏移”，它等于

:<math>\theta \simeq \frac{\lambda}{\pi w_0} \qquad (\theta \mathrm{\ in \ radians}). </math>

在远离束腰的位置，光束弯散的总角度为

:<math>\Theta = 2 \theta\ .</math>

由于这一性质，聚焦于一个小点的高斯激光在远离这个点的传播过程中迅速散开。为了保持激光的准直，激光束必须具有较大的直径。束宽和光束偏移的这一关系是由于[[衍射]]的缘故。非高斯光束同样会表现这一效应，但是高斯光束是一种特殊情况，其束宽和偏移的乘积是可能达到的最小值。

由于高斯光束模型使用了近轴近似，当波前与光传播方向倾斜程度大于30度之后，这种模型将不再适用<ref>Siegman (1986) p. 630.</ref>。通过上述偏移的表达式，这意味着高斯光束模型仅对束腰大于 <math>2 \lambda / \pi</math> 的光束适用。

激光束的质量可以用{{link-en|束参数乘积|beam parameter product}}（BBP）来衡量。对于高斯光束，BBP 的数值就是光束的偏移量与束腰 <math>w_0</math> 的乘积。实际光束的 BPP 通过计算光束的最小直径和远场偏移量的乘积来获得。在波长一定的情况下，实际光束的 BPP 数值与理想激光束的 BPP 数值的比值被称为“M<sup>2</sup>”。高斯光束的 M<sup>2 </sup>值为1，而所有的是激光束的 M<sup>2 </sup>值均大于1，并且质量越好的激光的 M<sup>2 </sup>值越接近1。

=== Gouy 相位 ===
光束的轴向上的相位延迟，或称 Gouy 相位为

:<math>\zeta(z) = \arctan \left( \frac{z}{z_\mathrm{R}} \right) \ .</math>

当光束通过焦点时，除了正常情况下平面波的相移 <math>e^{-i k z} </math> 外，多出一个额外的 Gouy 相移 <math>\pi</math>。

=== 复数形式的光束参数 ===
可以通过复数形式的光束参数 <math>q(z) </math> 囊括光斑尺寸与曲率半径的信息，

:<math> q(z) =  z + q_0  = z + iz_\mathrm{R} \ .</math>

倒数 <math>1/q(z) </math> 显式提供了 <math>q(z) </math>，<math>w(z) </math> 与 <math>R(z) </math> 间的关系：

<math>  { 1 \over q(z) }   =   { 1 \over z + iz_\mathrm{R} } =   { z \over z^2 + z_\mathrm{R}^2  }  -  i  { z_\mathrm{R} \over z^2 + z_\mathrm{R}^2  } = {1 \over R(z) } - i { \lambda \over \pi w^2(z)  }.</math>

光束参数的复数形式在高斯光束传播的分析中有着重要地位，特别是当使用光线传递矩阵分析光谐振腔中光束传播。

利用复数光束参数 <math>q</math>，具有一个横向维度的高斯光束电磁场与下式成比例

:<math>{u}(x,z) = \frac{1}{\sqrt{{q}_x(z)}} \exp\left(-i k \frac{x^2}{2 {q}_x(z)}\right).</math>

在二维的情况中，可以将散光的光束表达为乘积的形式

:<math>{u}(x,y,z) = {u}(x,z)\, {u}(y,z),</math>

对于[[圆对称]]的普遍情况，<math>{q}_x = {q}_y = {q}</math> 且<math>x^2 + y^2 = r^2</math>，可以得出<ref>See Siegman (1986) p. 639. Eq. 29</ref>

:<math>{u}(r,z) = \frac{1}{{q}(z)}\exp\left( -i k\frac{r^2}{2 {q}(z)}\right).</math>

== 功率和辐照度 ==
=== 流经孔隙的功率 ===
流经距离 ''z ''轴半径为''r''的圆的[[功率]]为

:<math>  P(r,z) =  P_0 \left[ 1 - e^{-2r^2 / w^2(z)} \right]\ ,</math>

这里

:<math> P_0 = { 1 \over 2 } \pi I_0 w_0^2 </math> 为电磁波传播的总能量

流经以 <math>r = w(z) \, </math> 为半径的圆的能量占总能量的比值为

:<math>{ P(z) \over P_0 } = 1 - e^{-2} \approx 0.865\ .</math>

类似的，占光波总能量约90%的部分将流经半径为 <math>r = 1.07\cdot w(z) \, </math> 的圆形面积，总能量的95%通过 <math>r = 1.224\cdot w(z) \, </math> 的圆形面积，总能量的99%会通过 <math>r = 1.52 \cdot w(z) </math> 的圆。

=== 辐照度的峰值和平均值 ===
在与束腰的轴向距离为 <math>z</math> 的位置，利用[[洛必达法则]]，可以计算该位置的辐射照度峰值

:<math>I(0,z) =\lim_{r\to 0} \frac {P_0 \left[ 1 - e^{-2r^2 / w^2(z)} \right]} {\pi r^2} 
         = \frac{P_0}{\pi} \lim_{r\to 0} \frac { \left[ -(-2)(2r) e^{-2r^2 / w^2(z)} \right]} {w^2(z)(2r)} 
         = {2P_0 \over \pi w^2(z)}.  </math>

可以看出，辐照度峰值为平均值的两倍，后者等于总能量除以半径为 <math>w(z)</math> 的圆的面积。

== 相關條目 ==
*[[平頂光束]]
*{{le|雷射光束光點分析儀|Laser beam profiler}}
*{{le|貝索光束|Bessel beam}}

== 参考文献 ==
{{reflist}}
{{refbegin}}
*{{cite book | title = Fundamentals of Photonics | author = Saleh, Bahaa E. A.  and Teich, Malvin Carl  | publisher = John Wiley & Sons | location = New York |  year = 1991 | isbn= 0-471-83965-5 }} Chapter 3, "Beam Optics," pp.&nbsp;80–107.

*{{cite book | title = Optical Coherence and Quantum Optics | author = Mandel, Leonard  and Wolf, Emil  | publisher = Cambridge University Press | location = Cambridge |  year = 1995 | isbn= 0-521-41711-2 }} Chapter 5, "Optical Beams," pp.&nbsp;267.

*{{cite book | first = Anthony E.|last=Siegman|year=1986|title=Lasers| url = https://archive.org/details/lasers0000sieg|publisher=University Science Books|isbn= 0-935702-11-3}} Chapter 16.

*{{cite book | first =Amnon | last =Yariv | year =1989 | title = Quantum Electronics| url =https://archive.org/details/quantumelectroni0000yari_v5b8 | edition =3rd | publisher =Wiley | isbn =0-471-60997-8}}

*{{cite arxiv
 | author=F. Pampaloni and J. Enderlein
 | title=Gaussian, Hermite-Gaussian, and Laguerre-Gaussian beams: A primer
 | journal=
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*{{cite journal
 |author       = Miguel A. Bandres and Julio C. Gutierrez-Vega
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 |journal      = Opt. Lett.
 |issue        = 2
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 |url          = http://www.opticsinfobase.org/abstract.cfm?URI=ol-29-2-144
 |doi          = 10.1364/OL.29.000144
 |pmid         = 14743992
 |bibcode      = 2004OptL...29..144B
 |access-date  = 2012-04-05
 |archive-date = 2020-05-16
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20200516120051/https://www.osapublishing.org/ol/abstract.cfm?uri=ol-29-2-144
 |dead-url     = no
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*{{cite journal
 | author= E. Karimi, G. Zito, B. Piccirillo, L. Marrucci, and E. Santamato
 | title= Hypergeometric-Gaussian beams
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 | url= http://www.opticsinfobase.org/abstract.cfm?URI=ol-32-21-3053
 | doi= 10.1364/OL.32.003053
 | pmid= 17975594
 | bibcode= 2007OptL...32.3053K
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 | archive-date= 2020-05-16
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* [https://web.archive.org/web/20120307233534/https://www.cvimellesgriot.com/Products/Documents/TechnicalGuide/Gaussian-Beam-Optics.pdf Gaussian Beam Propagation] - CVI Melles Griot Technical Guide
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{{refend}}

[[Category:激光科学|G]]