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'''高德納箭號表示法'''（{{lang-en|Knuth's up-arrow notation}}）是種用來表示很大的[[整數]]的方法，由[[高德納]]於1976年設計。它的概念來自[[冪]]是重複的[[乘法]]，乘法是重複的[[加法]]。

== 簡介 ==
[[乘法]]是重複的[[加法]]：<math>a \times b = a+a+\cdots+a</math> （有<math>b</math>個<math>a</math>）

[[冪]]是重複的乘法：<math>a^b = a \uparrow b = a \times a \times \cdots  \times a</math>（有<math>b</math>個<math>a</math>）

於是高德納定義「雙箭號」運算符，作重複的冪運算，或稱[[迭代冪次]]：
<math>a \uparrow\uparrow b=

\begin{matrix} \underbrace{ a \uparrow a \uparrow \cdots \uparrow a } \\ b\end{matrix}

= \begin{matrix} \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} \\ b\end{matrix} = {^{b}a}</math>（中文读法為「b个a重幂」）

計算時是由右至左計的。

:<math>3 \uparrow \uparrow 2 = {^{2}3} = 3^3 = 27</math>
:<math>3 \uparrow \uparrow 3 = {^{3}3} = 3^{3^3} = 3^{27} = 7,625,597,484,987</math>
:<math>3 \uparrow \uparrow 4 = {^{4}3} = 3^{3^{3^3}} = 3^{7625597484987} \approx 1.2580143\times 10^{3638334640024}</math>
:<math>3 \uparrow \uparrow 5 = {^{5}3} = 3^{3^{3^{3^3}}} = 3^{3^{7625597484987}} \approx 3^{1.2580143\times 10^{3638334640024}}</math>

多於兩個箭號時，

:<math>3 \uparrow\uparrow \uparrow 2 = 3 \uparrow\uparrow 3 = {^{3}3} = 3^{3^3} = 3^{27} = 7,625,597,484,987\,\!</math>

:<math>3 \uparrow\uparrow \uparrow 3 = 3 \uparrow\uparrow 3 \uparrow\uparrow 3 = {^{^{3}3}3} = {^{7625597484987}3} =  \begin{matrix} \underbrace{3^{3^{.^{.^{.{3}}}}}} \\ 7625597484987\end{matrix}</math>

== 使用指數來解釋高德納箭號表示法 ==
<math>a \uparrow \uparrow b</math>代表重複的冪，或迭代冪次，例如：
<math>a \uparrow \uparrow 4 = a \uparrow (a \uparrow (a \uparrow a)) = a^{a^{a^a}}</math>

當b為變量或過大時，重複的冪可以如下表示：

:<math>a \uparrow \uparrow b = \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{b}</math>

指數不只能解釋兩個箭號的運算，三個箭號也行。

:<math>a \uparrow \uparrow \uparrow 2 = a \uparrow \uparrow a = 
  \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{a}</math>
:<math>a \uparrow \uparrow \uparrow 3 = a \uparrow \uparrow (a \uparrow \uparrow a) = 
  \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{a} }</math>
:<math>a \uparrow \uparrow \uparrow 4 = a \uparrow \uparrow [a \uparrow \uparrow (a \uparrow \uparrow a)] = 
  \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{a} }}</math>

再次的，當b為變量或過大時，三個箭號的運算可以如下表示：

:<math>a \uparrow \uparrow \uparrow b = 
  \left. \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{\vdots}_{a} }} \right\} b</math>

四個箭號可以如下表示：

:<math>a \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2 = a \uparrow \uparrow \uparrow a = 
  \left. \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{\vdots}_{a} }} \right\}
                     a</math>
:<math>a \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3 = a \uparrow \uparrow \uparrow (a \uparrow \uparrow \uparrow a) = 
  \left.\left. \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{\vdots}_{a} }} \right\}
                     \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{\vdots}_{a} }} \right\}
                     a</math>
:<math>a \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4 = a \uparrow \uparrow \uparrow [a \uparrow \uparrow \uparrow (a \uparrow \uparrow \uparrow a)] = 
  \left.\left.\left. \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{\vdots}_{a} }} \right\}
                     \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{\vdots}_{a} }} \right\}
                     \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{\vdots}_{a} }} \right\}
                     a</math>

再次的一般化：

:<math>a \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b = 
  \underbrace{
    \left.\left.\left. \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{\vdots}_{a} }} \right\}
                       \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{\vdots}_{a} }} \right\}
                       \cdots \right\}
                       a
  }_{b}</math>

這種方法可以用來表示任何能夠用高德納箭號表示法表示的數，但是會變得相當麻煩。

== 一般化 ==
若要用多個箭號時，可用↑<sup>''n''</sup>表示，但有些數還是大得連這種表示法也不夠用，例如[[葛立恆數]]。

這時可能用[[hyper運算符]]或[[康威鏈式箭號表示法]]方便一點。

:<math>
  \begin{matrix}
   a\uparrow^n b & = & \mbox{hyper}(a,n+2,b) & = & a\to b\to n \\
   \mbox{(Knuth)} & & & & \mbox{(Conway)}
  \end{matrix}
 </math>

== 定義 ==

對於整數<math>a</math>、非負整數<math>b</math>和正整數<math>n</math>：

{|
|rowspan="3" |
:<math>
  a\uparrow^n b=
  \left\{
   \begin{matrix}
    1, \\
    a^b, \\
    a\uparrow^{n-1}(a\uparrow^n(b-1)),
   \end{matrix}
  \right.
 </math>
|若<math>b=0</math>；
|-
|若<math>n=1</math>；
|-
|其他。
|}

這個表示法符合向右[[結合律]]。

== 參考 ==
* Knuth, Donald E., "Coping With Finiteness", ''Science'' vol. 194 n. 4271 (Dec 1976), pp. 1235-1242.
* {{mathworld|urlname=ArrowNotation|title=Arrow Notation}}
* Robert Munafo, ''[http://www.mrob.com/pub/math/largenum.html Large Numbers] {{Wayback|url=http://www.mrob.com/pub/math/largenum.html |date=20170516055144 }}'' 

{{大数}}
{{高德納}}

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[[Category:大数]]