查看“︁马施克定理”︁的源代码

[[Image:Heinrich_Maschke.jpg|thumb|right|Heinrich Maschke]]
{{Citation style|time=2012-03-23T17:13:02+00:00}}
在[[代数]]中，'''马施克定理'''是[[有限群表示论]]中基本的定理之一。

== 定理 ==
若<math>V</math>是[[体 (数学)|域]]<math>K</math>上的有限维[[线性空间]]，<math>(V, \rho)</math>是[[有限群]]<math>G</math>的[[群表示论|表示]], <math>U_0</math>是<math>V</math>的<math>G</math>[[不变子空间]], <math>K</math>的[[特征]]不能整除<math>G</math>的[[阶 (群论)|阶]]，

则存在<math>V</math>中的<math>G</math>[[不变子空间]]<math>W</math>，使得<math>V=W\oplus U_0</math>，从而<math>(V, \rho)</math>是[[完全可约]]的。

== 证明 ==
<math>U_0</math>是<math>V</math>的子空间，所以存在<math>U_0</math>在<math>V</math>中的补空间<math>W_0</math>，及投影<math>P_0</math>, <math>Q_0</math>，使得

<math>U_0=P_0V</math>

<math>W_0=Q_0V</math>

<math>P_0^2-P_0=Q_0^2-Q_0=P_0Q_0=Q_0P_0=0</math>

<math>P_0+Q_0=1</math>

由条件“<math>K</math>的特征不能整除<math>G</math>的阶”，令<math>N=|G|</math>，则<math>N</math>是域<math>K</math>中的可逆元。

定义新的投影算子

<math>P=N^{-1}\sum_{g\in G}gP_0 g^{-1}</math>

<math>Q=N^{-1}\sum_{g\in G}gQ_0 g^{-1}</math>

则

<math>P+Q=1</math>

<math>P^{2}=P</math>

<math>Q^{2}=Q</math>

<math>PQ=QP=0</math>

于是

<math>V=U\oplus W</math>

其中
<math>U=\textrm{Im}{P}</math>，
<math>W=\textrm{Im}{Q}</math>

由<math>P</math>的定义
<math>U=\textrm{Im}P \subseteq U_0 </math>

另一方面可以直接验证
<math>\forall u=P_0v \in U_0, Q u=QP_0v=0</math>
从而
<math>U_0 \subseteq \textrm{Ker}Q=\textrm{Im}P=U</math>

故
<math>U=U_0</math>

<math>V=U_0\oplus W</math>

注意到<math>\forall g \in G, gQ=Qg</math>

<math>W</math>是<math>G</math>不变子空间。

证毕。

==参考==
* {{Cite book|url=https://archive.org/download/xiandaishuxuejichu/26--.pdf|title=有限群和紧群的表示论|last=丘维声|publisher=北京大学出版社|year=1997|pages=21|authorlink=丘维声}}
[[Category:群表示论]]