查看“︁馮紐曼熵”︁的源代码

{{unreferenced|time=2016-09-30T17:26:01+00:00}}
[[量子統計力學]]中，'''馮紐曼熵'''（{{Lang-en|'''von Neumann entropy'''}}）是經典體系[[吉布士熵]]概念的拓展延伸。體系的馮紐曼熵为
: <math> S \dot= - \mathrm{Tr}(\rho \ln \rho),</math>
其中Tr表示求<span class="ilh-all"><span class="ilh-page">跡</span><span class="noprint ilh-comment">（<span class="ilh-lang">[[汉语|中文]]</span><span class="ilh-colon">：</span><span class="ilh-link">[//zh.wikipedia.org/wiki/跡 <span dir="auto" lang="zh">跡</span>]</span>）</span></span><span class="ilh-all"></span>，<math>\rho</math>是體系的<span class="ilh-all"><span class="ilh-page">密度矩陣</span><span class="noprint ilh-comment">（<span class="ilh-lang">[[汉语|中文]]</span><span class="ilh-colon">：</span><span class="ilh-link">[//zh.wikipedia.org/wiki/密度矩陣 <span dir="auto" lang="zh">密度矩陣</span>]</span>）</span></span><span class="ilh-all"></span>。

運用密度矩陣的[[特征向量|本徵態向量]]分解表示
: <math> \rho = \sum_i w_i | \psi_i \rangle \langle \psi_i |,</math>
可以得到：
: <math> S = - \sum_i w_i \ln w_i.</math>

== 性質 ==
馮紐曼熵有下列性質：
* <math>S=0 \iff \rho</math>代表<span class="ilh-all"><span class="ilh-page">純態</span><span class="noprint ilh-comment">（<span class="ilh-lang">[[汉语|中文]]</span><span class="ilh-colon">：</span><span class="ilh-link">[//zh.wikipedia.org/wiki/純態 <span dir="auto" lang="zh">純態</span>]</span>）</span></span><span class="ilh-all"></span>；
* <math>S=S_\max=\ln N \iff \rho</math>代表最大混合態，就是所有的<math>w_i</math>都等於<math>N^{-1}</math>，其中<math>N</math>是<span class="ilh-all"><span class="ilh-page">希爾伯特空間</span><span class="noprint ilh-comment">（<span class="ilh-lang">[[汉语|中文]]</span><span class="ilh-colon">：</span><span class="ilh-link">[//zh.wikipedia.org/wiki/希爾伯特空間 <span dir="auto" lang="zh">希爾伯特空間</span>]</span>）</span></span><span class="ilh-all"></span>的[[維度|維]]數；
* 對密度矩陣作{{Internal link helper/en|酉變換|Unitary transformation}}，<math>S</math>不變。
* 馮紐曼熵是密度矩陣的<span class="ilh-all"><span class="ilh-page">上凸函數</span><span class="noprint ilh-comment">（<span class="ilh-lang">[[汉语|中文]]</span><span class="ilh-colon">：</span><span class="ilh-link">[//zh.wikipedia.org/wiki/凹函數 <span dir="auto" lang="zh">凹函數</span>]</span>）</span></span><span class="ilh-all"></span>：
: <math> S\bigg(\sum_{i=1}^k \lambda_i \, \rho_i \bigg) \,\geq\, \sum_{i=1}^k \lambda_i \, S(\rho_i), \qquad\forall \lambda_i\geq0,\sum_i\lambda_i=1; </math>
* 馮紐曼熵對獨立體系有加和性，就是：如果<math>A</math>和<math>B</math>是兩個獨立的體系，这样
: <math>S(\rho_A \otimes \rho_B)=S(\rho_A)+S(\rho_B).</math>

{{物理小作品}}

{{DEFAULTSORT:von Neumann entropy}}
[[Category:量子力学]]