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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
{{线性代数}}
在[[線性代數]]中，'''餘因子'''是一種關於方陣之逆及其[[行列式]]的建構，餘因子矩陣的項是帶適當符號的[[子式和余子式|子行列式]]。

== 定義 ==
對一個 <math>n \times n</math> 矩陣 <math>A</math>，在 <math>(i,j)</math> 的'''子行列式'''（'''余子式'''） <math>M_{ij}</math> 定義為刪掉 <math>A</math> 的第 i 橫-{zh-hans:行;zh-hant:列}-與第 j 縱-{zh-hant:行;zh-hans:列}-後得到的[[行列式]]。令 <math>C_{ij} := (-1)^{i+j} M_{ij}</math>，稱為 <math>A</math> 在 <math>(i,j)</math> 的'''餘因子'''（'''代数余子式'''）。矩陣 <math>\mathrm{cof}(A) := (C_{ij})_{i,j}</math> 稱作 <math>A</math> 的'''餘因子矩陣'''（'''余子矩阵'''）。餘因子矩陣的[[轉置矩陣|轉置]]稱為[[伴隨矩陣]]，記為 <math>\mathrm{adj}(A)</math>。

== 範例 ==
考慮三階方陣
:<math>B = \begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} & b_{13} \\
b_{21} & b_{22} & b_{23} \\
b_{31} & b_{32} & b_{33} \\
\end{bmatrix}</math>

今將計算餘因子 <math>C_{23}</math>。子行列式 <math>M_{23}</math> 是下述矩陣（在 <math>B</math> 中去掉第 2 橫行與第 3 縱列）之行列式：
:<math> M_{23} = \begin{vmatrix}
b_{11} & b_{12} & \Box \\
\Box & \Box & \Box \\
b_{31} & b_{32} & \Box \\
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{31} & b_{32} \\
\end{vmatrix} = b_{11}b_{32} - b_{31}b_{12}</math>

根據定義得到
:<math>\ C_{23} = (-1)^{2+3}(M_{23})</math>
:<math>\ C_{23} = (-1)^{5}(b_{11}b_{32} - b_{31}b_{12})</math>
:<math>\ C_{23} = b_{31}b_{12} - b_{11}b_{32}.</math>

== 餘因子分解 ==

對一 <math>n\times n</math> 矩陣：
:<math> A = \begin{bmatrix}
    a_{11}  & a_{12} & \cdots &   a_{1n}   \\
    a_{21}  & a_{22} & \cdots &   a_{2n}   \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
    a_{n1}  & a_{n2} & \cdots &  a_{nn}
\end{bmatrix} </math>

其行列式 <math>\det A</math> 可以用餘因子表示：
:<math>\ \det(A) = a_{1j}C_{1j} + a_{2j}C_{2j} + a_{3j}C_{3j} + ... + a_{nj}C_{nj} </math>
:（對第 j 縱行的餘因子分解）

:<math>\ \det(A) = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + a_{i3}C_{i3} + ... + a_{in}C_{in} </math> 
:（對第 i 橫列的餘因子分解）

== 古典伴隨矩陣 ==

「古典伴隨矩陣」(classical adjoint matrix) 是餘因子矩陣的「[[轉置矩陣]]」，它與[[逆矩陣]]的計算有極大的關係。

:<math>A^{-1} =  \frac{\mathrm{adj}(A)}{\det(A)} </math>

 
將餘因子矩陣

:<math> \begin{bmatrix}
    C_{11}  & C_{12} & \cdots &   C_{1n}   \\
    C_{21}  & C_{22} & \cdots &   C_{2n}   \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
    C_{n1}  & C_{n2} & \cdots &  C_{nn}
\end{bmatrix} </math>

轉置之後，會得到「古典伴隨矩陣」：

:<math> \mathrm{adj}(A) = \begin{bmatrix}
    C_{11}  & C_{21} & \cdots &   C_{n1}   \\
    C_{12}  & C_{22} & \cdots &   C_{n2}   \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
    C_{1n}  & C_{2n} & \cdots &  C_{nn}
\end{bmatrix} </math>

== 克萊姆法則 ==
[[克萊姆法則]]可以用餘因子寫成下述簡鍊的形式：
: <math>\mathrm{cof}(A)^t A = A\mathrm{cof}(A)^t = \det(A) I_n</math>

當 <math>\det A \neq 0</math> 時，<math>A</math> 的逆矩陣由下式給出：
: <math>A^{-1} = \dfrac{\mathrm{cof}(A)^t}{\det A}</math>

此即線性方程組理論中的克萊姆法則。

== 文獻 ==
* Anton, Howard and Chris, Rorres, ''Elementary Linear Algebra'', 9th edition (2005), John Wiley and Sons. ISBN 0-471-66959-8
   
== 外部連結 ==
* [https://web.archive.org/web/20080105104326/http://video.google.com/videoplay?docid=-5641257495120579764 MIT Linear Algebra Lecture on Cofactors] at Google Video, from MIT OpenCourseWare
* [https://web.archive.org/web/20120408004640/http://planetmath.org/encyclopedia/Cofactor.html PlanetMath]

[[Category:矩陣論|U]]

[[fr:Comatrice#Cofacteur]]