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在[[數學]]中，'''餘代數'''是帶單位元的[[結合代數]]的對偶結構，後者的公理由一系列[[交換圖]]給出，將這些圖中的箭頭反轉，便得到餘代數的公理。

餘代數的概念可用於[[李群]]及[[群概形]]等領域中。

==定義==
形式上來說，域 <math>K</math> 上的餘代數是一個 <math>K</math>-[[向量空間]] <math>C</math> 及 <math>K</math>-線性映射 <math>\Delta : C \to C \otimes_K C</math>（餘乘法）與 <math>\epsilon : C \to K</math>（餘單位元），使得：

# <math>(\mathrm{id}_C \otimes \Delta) \circ \Delta = (\Delta \otimes \mathrm{id}_C) \circ \Delta</math>
# <math>(\mathrm{id}_C \otimes \epsilon) \circ \Delta = \mathrm{id}_C = (\epsilon \otimes \mathrm{id}_C) \circ \Delta</math>.

等價的說法是：以下圖表交換：

[[File:Defining diagrams of coalgebra.png|center|800px]]

在第一個圖表中，我們等同了 <math>C\otimes (C\otimes C)</math> 與 <math>(C \otimes C)\otimes C</math>；同理，在第二個圖表中，我們等同了 <math>C</math>、<math>C\otimes K</math> 與 <math>K\otimes C</math>。

第一個圖表是代數乘法結合律的對偶版本，稱為餘乘法之餘結合律。第二個圖表是代數單位元的對偶版本。

==Sweedler 記法==
處理餘代數時，以下記法可以大大地簡化式子，稱為 Sweedler 記法。這套記法在數學界中頗為流行。給定餘代數 <math>(C, \Delta, \epsilon)</math> 中的一個元素 <math>c</math>，存在一族元素 <math>c_{(1)}^i, c_{(2)}^i \in C</math>，使得
:<math>\Delta(c)=\sum_i c_{(1)}^{(i)}\otimes c_{(2)}^{(i)}.</math>
在 Sweedler 記法中，上式寫作
:<math>\Delta(c)=\sum_{(c)} c_{(1)}\otimes c_{(2)}.</math>

舉例明之，餘單位元 <math>\epsilon</math> 之公理可表成
:<math>c=\sum_{(c)} \epsilon(c_{(1)})c_{(2)} = \sum_{(c)} c_{(1)}\epsilon(c_{(2)}).\;</math>

餘乘法 <math>\Delta</math> 則可表成
:<math>\sum_{(c)}c_{(1)}\otimes\left(\sum_{(c_{(2)})}(c_{(2)})_{(1)}\otimes (c_{(2)})_{(2)}\right) = \sum_{(c)}\left( \sum_{(c_{(1)})}(c_{(1)})_{(1)}\otimes (c_{(1)})_{(2)}\right) \otimes c_{(2)}.</math>

在 Sweedler 記法中，這些式子都被寫作
:<math>\sum_{(c)} c_{(1)}\otimes c_{(2)}\otimes c_{(3)}.</math>

一些作者會省略求和符號，此時 Sweedler 記法表成
:<math>\Delta(c)=c_{(1)}\otimes c_{(2)}</math>
與
:<math>c=\epsilon(c_{(1)})c_{(2)} = c_{(1)}\epsilon(c_{(2)}).\;</math>

==相關文獻==
* Eiichi Abe, ''Hopf Algebras'' (1980), translated by Hisae Kinoshita and Hiroko Tanaka, Cambridge University Press. ISBN 0-521-22240-0

[[Category:余代数|Y]]
[[Category:霍普夫代數|Y]]