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{{expand|time=2016-07-28T19:16:02+00:00}}
在[[统计学]]中，[[樣本 (統計學)|样本]]的第<math>k</math>'''顺序统计量'''（{{lang-en|'''Order Statistics'''}}）即它从小到大排列时的第<math>k</math>个值，常用于[[無母數統計|非参数估计]]与[[無母數統計|推断]]中。常见的顺序统计量包括样本的[[最大值]]、[[最小值]]、[[中位数]]等。

== 记号 ==
任给[[樣本 (統計學)|样本]]<math>x_1, x_2, \cdots, x_n</math>，将其从小到大排成一列，记为：<math display="block">x_{(1)}, x_{(2)}, \cdots, x_{(n)}.</math>则其第一顺序统计量（即最小值）为<math>x_{(1)}</math>，第<math>n</math>顺序统计量（即最大值）为<math>x_{(n)}</math>。

== 概率 ==
[[随机变量]]<math>X_{(k)}</math>的[[累积分布函数]]<math>F_k(x)</math>由下式给出<ref>{{Cite web|url=http://www.math.uah.edu/stat/sample/OrderStatistics.html|title=Order Statistics|accessdate=2016-07-28|work=www.math.uah.edu|archive-date=2017-08-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20170813011016/http://www.math.uah.edu/stat/sample/OrderStatistics.html|dead-url=no}}</ref><math display="block">F_k(x) = \sum_{j = k}^n \binom{n}{j} (F(x))^j(1-F(x))^{n-j}, \quad x \in \R, </math>
将累积分布函数求导可得其[[概率密度函数]]<math>f_k(x)</math>为
<math display="block">f_k(x) = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}(F(x))^{k-1}(1-F(x))^{n-k}f(x), \quad x \in \R.</math>

=== 連續均勻樣本 ===
從[[单位区间]]上的[[連續型均勻分布]]取得的樣本，其各順序統計量的[[边缘分布]]屬於[[Β分布]]族。此外，任意幾個順序統計量的[[联合分布]]也有簡單的表示。本節將作介紹。藉賴[[累积分布函数]]（cdf），該些結果亦可推廣到任意連續分佈。

本節中，<math>X_1, X_2, \ldots, X_n</math>表示以<math>F_X</math>為cdf的一組[[抽樣|隨機樣本]]。記<math>U_i=F_X(X_i)</math>，則<math>U_1,\ldots,U_n</math>是從標準[[連續型均勻分布|連續均勻分布]]抽取的對應樣本。由<math>F_X</math>的單調性，後者的順序統計量為<math>U_{(i)}=F_X(X_{(i)})</math>。

順序統計量<math>U_{(k)}</math>的概率密度函數（pdf）等於<ref name="gentle">{{cite book|title=Computational Statistics|first=James E.|last=Gentle|publisher=Springer|year=2009|isbn=9780387981444|page=63|url=https://books.google.com/books?id=mQ5KAAAAQBAJ&pg=PA63|language = en}}</ref>

:<math>f_{U_{(k)}}(u)={n!\over (k-1)!(n-k)!}u^{k-1}(1-u)^{n-k}.</math>

換言之，均勻分佈的第<math>k</math>順序統計量遵循[[Β分布]]<ref name="gentle"/><ref>{{cite journal|title=Kumaraswamy's distribution: A beta-type distribution with some tractability advantages|first=M. C.|last=Jones|journal=Statistical Methodology|volume=6|issue=1|year=2009|pages=70–81|doi=10.1016/j.stamet.2008.04.001|quote=As is well known, the beta distribution is the distribution of the ''m''’th order statistic from a random sample of size ''n'' from the uniform distribution (on (0,1)).}}</ref>

:<math>U_{(k)} \sim \operatorname{Beta}(k,n+1\mathbf{-}k).</math>

證明如下：欲使<math>U_{(k)}</math>介乎<math>u</math>與<math>u + \mathrm du</math>之間，樣本須恰有<math>k - 1</math>個元素小於<math>u</math>，並至少有一個介乎<math>u</math>與<math>u + \mathrm du</math>之間。該區間包含多於一個元素的概率已是<math>O(\mathrm du^2)</math>（使用了[[大O符號]]），故衹需計算<math>(0,u)</math>、<math>(u,u+du)</math>、<math>(u+du,1)</math>三區間分別恰有<math>k - 1</math>、<math>1</math>、<math>n-k</math>個元素的概率。此即{{link-en|多項分佈|multinomial distribution|三項分佈}}概率

:<math>{n!\over (k-1)!(n-k)!}u^{k-1}\cdot \mathrm du\cdot(1-u-\mathrm du)^{n-k},</math>

故上述pdf公式成立。該分佈的平均值為<math>k/(n+1)</math>。

== 参考文献 ==
{{reflist}}

{{算法}}

[[Category:置换]]
[[Category:统计学]]
[[Category:概率分布]]