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在[[数学]]中，特別是黎曼幾何跟微分流形的理論裡，'''音乐同构'''（{{lang|en|Musical isomorphism}} 或'''典范同构''' {{lang|en|canonical isomorphism}}）是指（[[伪黎曼流形|伪]]）[[黎曼流形]] ''M'' 的[[切丛]] ''TM'' 与[[余切丛]] <math>T^{*}M</math>  之间的同构，这个同构由黎曼[[黎曼度量|度量]]给出。不過一般地，只要流形的切丛上有一个处处非退化的[[双线性形式]]（比如[[辛流形]]上的辛形式）便可定义这样的同构。在帶有內積（或更一般的，非退化的雙線性形式）的有限維向量空間 <math display="inline">V</math>，這些同構自然給出了 <math>V</math> 和其對偶空間 <math>V^*</math> 之間的同構，在這種情況一般稱這些映射為典範同構（canonical isomorphosm）。

這些運算在流形上的張量場理論裡也称为[[指标的上升和下降]]。

== 正式定义 ==
黎曼流形 ''M'' 的黎曼度量 <math>g=\sum_{ij}g_{ij}dx^i\otimes dx^j</math> 是一个二階的[[对称张量|对称]]、[[正定矩陣|正定]][[张量场]] <math>g \in \mathcal{T}_2^0(M)</math>。在任意一点 ''x''&isin;''M''，黎曼度量會誘導出一個映射 <math>\widehat{g}_x</math> 
:<math>\widehat{g}_x : T_x M \longrightarrow T^{*}_x M</math>
這映射給了點 <math>x</math>的切空間跟餘切空间之间的一个[[线性同构]]，对任何切向量 ''X''<sub>''x''</sub> 属于 ''T''<sub>''x''</sub>M，定義
:<math>\widehat{g}_x(X_x) = \langle X_x,\cdot\rangle\in T^{*}_x M\ ,</math>
其中符號 <math>\langle\,,\rangle</math> 代表 流形上的黎曼度量。这意味着，
:<math> \widehat{g}_x(X_x)(Y_x) = \langle X_x,Y_x\rangle\ .</math>

这些线性映射的集合定义了一个丛同构
:<math>\widehat{g} : TM \longrightarrow T^{*}M\ ,</math>
这是一个特别的[[微分同胚]]，在每个切空间上為線性映射。在[[截面 (纤维丛)|截面]]的层次上即是切向量场到余切向量场的同构。在一个[[局部坐标]] <math>(U,x)</math>下，设度量矩阵为 <math>(g_{ij})</math>，逆矩阵为 <math>(g^{ij})</math>，向量場<math>X=\alpha^i\frac{\partial}{\partial x^i}</math>　。则这个同构會將<math>X</math>映射到
:<math>\widehat{g}:\alpha^i\frac{\partial}{\partial x^i} \mapsto \alpha^i g_{ij}d\,x^j \ .</math>

这里使用了[[爱因斯坦求和约定]]。

以上同构称为'''降号音乐同构'''（{{lang|en|flat}}）用符號<math>^\flat</math>表示，例如以上的函數<math>\widehat{g}</math>可表示成：<math>(\sum_i\alpha^i\frac{\partial}{\partial x^i})^\flat=\sum_{ij}\alpha^i g_{ij}d\,x^j</math>；而其逆運算称为'''升号'''（{{lang|en|sharp}}）用符號<math>^\sharp</math>表示：降号下降指标，升号上升指标，{{harv|Gallot|Hullin|Lafontaine|2004|p=75}}。升号用局部坐标表示为：
:<math>\widehat{g}^{-1}:\xi=\alpha_i d\,x^i \mapsto \alpha_i g^{ij}\frac{\partial}{\partial x^j}\ .</math>

这两个同构的核心是 ''g'' 为处处非退化的双线性形式，任何一个非退化的双线性形式都可给出类似的同构，对伪黎曼流形、辛流形也有类似的同构。在辛几何中，这个同构非常重要，[[哈密顿向量场]]便是由这个同构导出的。

==名称由来==
同构 <math>\widehat{g}</math> 与其逆 <math>\widehat{g}^{-1}</math> 称为“音乐同构”是因为是因为常常用兩種音樂符號 <math>\flat,\sharp</math>來代替這些同構，比如 <math>\widehat{g}(X)</math> 會寫成 <math>X^\flat</math>，<math>\widehat{g}^{-1}(\omega)</math> 會寫成 <math>\omega^{\sharp}</math>，它们將指标向下、向上移动。例如，流形上的向量場 <math>\textstyle X=\sum_i X^i \frac{\partial}{\partial x^i}</math> 經過 <math>\flat</math> 映射會變成餘向量場：
:<math>(\sum_i X^i \frac{\partial}{\partial x^i})^\flat=\sum_{ij}g_{ij}X^i dx^j:=\sum_j X_j dx^j\ ,</math>
這裡<math>\flat</math>將<math>\sum_iX^i\frac{\partial}{\partial x^i}</math>映射到<math>\sum_j X_j dx^j</math>，係數的指標從上到下，所以這運算用降號符號<math>\flat</math>表示。

而餘向量 <math>\omega=\sum_i\omega_i dx^i</math>，經過 <math>\sharp</math> 運算會變成向量
:<math>(\sum_i \omega_i dx^i)^\sharp=\sum_{ij}g^{ij}\omega_i \frac{\partial}{\partial x^j}\ ,</math>
所以指标向下、向上移动好似符号[[降号]]（<math>\flat</math>）与[[升号]]（<math>\sharp</math>）下降与上升一个[[半音]]的[[音高]]{{harv|Gallot|Hullin|Lafontaine|2004|p=75}}。

==梯度、散度与旋度==
音乐同构可以用来定义 <math>\mathbb{R}^3</math> 上无[[坐标系|坐标]]形式的[[梯度]]、[[散度]]与[[旋度]]：
: <math>
\begin{align}
      \nabla f        &= \left( {\mathbf d} f \right)^\sharp \\
      \nabla \cdot F  &= \star {\mathbf d} \star (F^\flat) \\
      \nabla \times F &= \left[ \star {\mathbf d} (F^\flat) \right]^\sharp
\end{align}
</math>

这里 <math>f,F</math> 分別是 <math>\mathbb{R}^3</math> 裡的函數跟向量場，<math>\star</math> 是[[霍奇对偶|霍奇星号]]算子{{harv|Marsden|Raţiu|1999|p=135}}。不难验证这与通常坐标形式的定义是一致的。第一个等式对更一般的黎曼流形上的光滑函数也成立。而在辛流形上，第一个等式便定义了以 ''f'' 为[[哈密顿量]]的哈密顿向量场。

此外，值得指出的是可用音乐同构和霍奇星号算子把[[叉积]]与[[外积]]联系起来，设 '''v''' 与 '''w''' 是 <math>\mathbb{R}^3</math> 中向量场，容易证明

: <math>
\mathbf{v}\times\mathbf{w} = \left[ \star \left( \mathbf{v}^\flat \wedge \mathbf{w}^\flat \right) \right]^\sharp.
</math>

== 参考文献 ==

* {{Citation | last1=Gallot | first1=Sylvestre | last2=Hullin | first2=Dominique | last3=Lafontaine | first3=Jacques | title=Riemannian Geometry | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=3rd | isbn=978-3-540-20493-0 | year=2004}}.
* {{Citation | last1=Marsden | first1=Jerrold E. | author1-link=Jerrold E. Marsden | last2=Raţiu | first2=Tudor S. | title=Introduction to Mechanics and Symmetry | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=2nd | isbn=978-0-387-98643-2 | year=1999}}.


[[Category:黎曼几何|Y]]
[[Category:张量|Y]]
[[Category:辛几何|Y]]