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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
在[[數學]]上，'''韦达定理'''（{{lang-en|Vieta's formulas}}），又称'''根與係數的关系'''，給出了[[多項式方程]]的[[根 (数学)|根]]與[[係數]]的关系。該定理由法國數學家[[弗朗索瓦·韋達]]發現，並因此得名。

韋達定理常用於[[代數]]領域。它的實用之處在於，能够不用把根直接解出來就能计算根之間的關係。

== 内容 ==
设 <math>P(x)=a_nx^n  + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots + a_1 x+ a_0 </math> 是一个一元 n 次[[實數|實]]（或[[复数 (数学)|複]]）係數多項式，首項系數 <math>a_n\neq 0</math>，令 P 的 n 個根為 <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math>，则根 <math>\{x_i\}</math>和係數 <math>\{a_j\}</math>之間滿足關係式

:<math>\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = -\dfrac{a_{n-1}}{a_{n}} \\ 
(x_1 x_2 + x_1 x_3+\cdots + x_1 x_n) + (x_2x_3 + x_2x_4+\cdots + x_2x_n)+\cdots + x_{n-1}x_n = \dfrac{a_{n-2}}{a_{n}} \\
{} \quad \vdots \\ x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \dfrac{a_0}{a_n}\end{cases}</math>

等價的說，對任何 k&nbsp;=&nbsp;1,&nbsp;2,&nbsp;...,&nbsp;n，係數比 <math>\frac{a_{n-k}}{a_n}</math> 是所有任取 k 個根的乘積的和的 <math>(-1)^k</math> 倍，即

: <math>\sum_{1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k\le n} x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}=(-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_n}</math>
: 或：
: <math>\sum_{1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k\le n} \left(\prod_{j = 1}^k x_{i_j}\right)=(-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_n}</math>

其中 <math>i_1 < i_2 < \cdots < i_k</math> 是要讓所有的根的組合都恰好出現一次。

事實上，等號的左邊被稱作是初等[[對稱多項式]]。

== 证明 ==
因為 <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> 是一元 n 次多項式 <math>M(x)=a_nx^n  + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots + a_1 x+ a_0 </math> 的 n 个根。於是有

:<math>a_nx^n  + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots + a_1 x+ a_0 = a_n(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_n)</math>

根據乘法原理展開右式，比較等號兩邊的各項係數可得

:<math>\begin{cases} a_{n-1} = -a_n(x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n) \\ 
a_{n-2} = a_n\left((x_1 x_2 + x_1 x_3+\cdots + x_1 x_n) + (x_2x_3 + x_2x_4+\cdots + x_2x_n)+\cdots + x_{n-1}x_n \right)\\
{} \quad \vdots \\ a_0=(-1)^n a_n x_1 x_2 \dots x_n\end{cases}</math>

上式等同於韋達定理的敘述。

== 特例 ==

=== n=2 ===
设 <math>x_1, x_2</math> 是一元二次多項式 <math>ax^2+bx+c</math> 的两根，則由<math>ax^2+bx+c
=a(x-x_1)(x-x_2)
=ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2</math>有

:<math>x_1+x_2=-\frac{b}{a},\quad x_1x_2=\frac{c}{a}</math>

這個特殊情況除之前提到的证明方法，也可以直接用[[二次方程#求根公式|求根公式]]即 <math>x_1=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}</math>，<math>x_2=\frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a} \,</math>證明：

:<math>x_1+x_2=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac} + \left (-b \right) - \sqrt {b^2-4ac}}{2a} =-\frac{b}{a}</math>
:<math>x_1x_2=\frac{ \left (-b + \sqrt {b^2-4ac} \right) \left (-b - \sqrt {b^2-4ac} \right)}{\left (2a \right)^2} =\frac{c}{a}</math>

在這個情況下，韦达定理的[[逆定理]]同样成立：給定一個一元二次多項式 <math>ax^2+bx+c</math>，如果有两个数 <math>x_1, x_2</math>，滿足 <math>x_1+x_2=-\frac{b}{a}</math> 和 <math>\, x_1x_2=\frac{c}{a}</math>，則 <math>x_1, x_2</math>就是多項式<math>\, ax^2+bx+c \,</math>的兩根。
=== n=3 ===
设 <math>x_1, x_2, x_3</math> 是一元三次多項式 <math>ax^3 + bx^2 + cx + d</math> 的三根，則

:<math> x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{c}{a}, \quad x_1 x_2 x_3 = -\frac{d}{a}</math>

== 推廣至環 ==
韋達定理經常使用在討論[[整環]] R 上多項式，換言之多項式係數都落在 R 上。此時，分數 <math>\frac{a_i}{a_n}</math> 在 R 中不見得有定義，除非 <math>a_n</math> 本身是[[可逆元]]。但 <math>\frac{a_i}{a_n}</math> 在 R 的[[分式環]] K 中有定義，而根 <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> 則在 K 的代數閉包 <math>\bar K</math> 中有定義。特別的，如果 R 是[[整數環]] <math>\mathbb Z</math>，則 K 是[[有理數域|有理數體]] <math>\mathbb Q</math>，<math>\bar K</math>是[[複數域|複數體]] <math>\mathbb C</math>。

如果多項式 P(x) 定義在一般非整環的[[交換環]]上，則韋達定理可能在兩個地方出錯。第一，<math>a_n</math> 可能不是[[零因子]]，因此不能出現在分母。第二 P(x) 可能不等於 <math>a_n(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_n)</math>。第一點算是顯而易見，以下給出一個第二點的例子。在環 <math>\mathbb Z/8\mathbb Z</math> 中，多項式 <math>P(x) = x^2 - 1</math> 有四個根 1、3、5、7，根數比多項式的次數還多。此外，如果隨便取兩根出來，例如 <math>x_1=1 </math>，<math>x_2=3 </math>，會發現 <math>P(x)\neq (x-1)(x-3) </math>，但是有時候如果根取的剛好，卻又可能會有 <math>P(x)= (x-1)(x-7) </math> 和 <math>P(x)= (x-3)(x-5) </math>。

== 歷史 ==
在 16 世紀，韋達發現了所有根都是正整數的版本，至於一般的版本 (根是實數)，可能首次由法國數學家 {{Tsl|en|Albert Girard}} 提出。Funkhouser 引用了18 世紀英國數學家{{Tsl|en|Charles Hutton|查爾斯·赫頓}}的話寫道<ref>{{Harv|Funkhouser|1930}}</ref><blockquote>...[Girard 是] 理解關於各次方項係數的和與積公式的一般性學說的第一人。他是找到關於將任意方程式的根的次方加總的規則的第一人。</blockquote>

== 參考資料 ==
{{reflist}}
* {{springer|title=Viète theorem|id=p/v096630}}
* {{Citation| first= H. Gray | last=Funkhouser | authorlink = Howard G. Funkhouser | title=A short account of the history of symmetric functions of roots of equations | journal=American Mathematical Monthly | year=1930 | volume= 37 | issue=7 | pages=357–365 | doi=10.2307/2299273| jstor= 2299273| publisher= Mathematical Association of America }}
*{{Citation
 | last       = Vinberg
 | first      = E. B.
 | authorlink= Ernest Vinberg
 | title      = A course in algebra
 | publisher  = American Mathematical Society, Providence, R.I
 | year       = 2003
 | pages      = 
 | isbn       = 0-8218-3413-4
}}

*{{Citation
 | last       = Djukić
 | first      = Dušan| title      = The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959–2004
 | publisher  = Springer, New York, NY
 | year       = 2006
 | pages      = 
 | isbn       = 0-387-24299-6
|display-authors=etal}}

== 参见 ==
{{Portal|数学}}
* [[法兰西斯·韦达]]
* [[对称多项式]]
* [[韋達跳躍]]
* [[天元术]]

[[Category:数学定理|W]]
[[Category:多项式|W]]
[[Category:初等代数|W]]