查看“︁韦伯分布”︁的源代码

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{{Probability distribution|
  name       = 韦伯分布|
  type       = 密度|
  pdf_image  = [[Image:Weibull PDF.svg|325px|概率密度函数]]<!--- NOT CORRECT (see discussion) [[Image:Weibul pdf.png|325px|Probability distribution function]]--->|
  cdf_image  = [[Image:Weibull CDF.svg|325px|累积分布函数]]<!--- NOT CORRECT (see discussion) [[Image:Weibul cdf.png|325px|Cumulative distribution function]]--->|
  parameters = <math>\lambda>0\,</math>[[尺度参数]]（[[实数]]）<br/><math>k>0\,</math>[[形状参数]]（实数）|
  support    = <math>x \in [0; +\infty)\,</math>|
  pdf        = <math>f(x)=\begin{cases}
\frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda)^{k}} & x\geq0\\
0 & x<0\end{cases}</math>|
  cdf        = <math>1- e^{-(x/\lambda)^k}</math>|
  mean       = <math>\lambda \Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\,</math>|
  median     = <math>\lambda(\ln(2))^{1/k}\,</math>|
  mode       = <math>\lambda \left(\frac{k-1}{k} \right)^{\frac{1}{k}}\,</math> if <math>k>1</math>|
  arg mode   = <math>\lambda\frac{k-1}{k}^{\frac{1}{k}}\,</math> if <math>k>1</math>|
  variance   = <math>\lambda^2\Gamma\left(1+\frac{2}{k}\right) - \mu^2\,</math>|
  skewness   = <math>\frac{\Gamma(1+\frac{3}{k})\lambda^3-3\mu\sigma^2-\mu^3}{\sigma^3}</math>|
  kurtosis   = 见内文|
  entropy    = <math>\gamma\left(1\!-\!\frac{1}{k}\right)+\ln\left(\frac{\lambda}{k}\right)+1</math>|
  mgf        = <math>\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n\lambda^n}{n!}\Gamma\left(1+\frac{n}{k}\right), \ k\geq1</math>|
  char       = <math>\sum_{n=0}^\infty \frac{(it)^n\lambda^n}{n!}\Gamma\left(1+\frac{n}{k}\right)</math>
}}
'''韦伯分布'''（Weibull distribution）是[[可靠性分析]]和[[寿命检验]]的理论基础。

例如，可以使用此分布回答以下问题：

预计将在老化期间失效的项目所占的百分比是[[多少]]？例如，预计将在 8 小时老化期间失效的保险丝占多大百分比？

预计在有效寿命阶段有多少次保修索赔？例如，在该轮胎的 50,000 英里有效寿命期间预计有多少次保修索赔？

预计何时会出现快速磨损？例如，应将维护定期安排在何时以防止发动机进入磨损阶段？

== 历史 ==
1927年，[[莫里斯·弗雷歇]]首先给出这一分布的定义。

1933年，Rosin, P.和Rammler, E.在研究碎末的分布时，第一次应用了韦伯分布。

1951年，[[瑞典]]工程师、数学家[[瓦洛迪·韦伯]]详细解释了这一分布，于是该分布便以他的名字命名为韦伯分布。

== 定义 ==
从[[概率论]]和[[统计学]]角度看，韦伯分布是连续性的概率分布，其概率密度为：
:<math>f(x;\lambda,k) =  \begin{cases}
\frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1}e^{-(\frac{x}{\lambda})^{k}} & x\geq0\\
0 & x<0\end{cases}</math>

其中，<math>x</math>是随机变量，<math>\lambda>0</math>是比例参数（scale parameter），<math>k>0</math>是形状参数（shape parameter）。显然，它的累积分布函数是扩展的指数分布函数，而且韦伯分布与很多分布都有关系。如，当<math>k=1</math>，它是指数分布；<math>k=2</math>时，是Rayleigh distribution（[[瑞利分布]]）。

== 性质 ==
=== 均值 ===
<math>E=\lambda \Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\,</math>
其中，<math>\Gamma</math>是伽马（gamma）函数。

=== 方差 ===
<math> Var=\lambda ^2 \left[\Gamma \left(1+\frac{2}{k}\right)-\Gamma \left(1+\frac{1}{k}\right)^2\right], </math>
==== 矩函数 ====

=== 偏度 ===
<math>skewness=\frac{2 \Gamma \left(1+\frac{1}{k}\right)^3-3 \Gamma \left(1+\frac{2}{k}\right) \Gamma \left(1+\frac{1}{k}\right)+\Gamma \left(1+\frac{3}{k}\right)}{\left[\Gamma \left(1+\frac{2}{k}\right)-\Gamma \left(1+\frac{1}{k}\right)^2\right]^{\frac{3}{2}}}</math>

=== 峰度 ===
<math>kurtosis=\frac{-3 \Gamma \left(1+\frac{1}{k}\right)^4+6 \Gamma \left(1+\frac{2}{k}\right) \Gamma \left(1+\frac{1}{k}\right)^2-4 \Gamma \left(1+\frac{3}{k}\right) \Gamma \left(1+\frac{1}{k}\right)+\Gamma \left(1+\frac{4}{k}\right)}{\left[\Gamma \left(1+\frac{2}{k}\right)-\Gamma \left(1+\frac{1}{k}\right)^2\right]^2}</math>

== 应用 ==
=== 生存分析===
=== 工业制造 ===
研究生产过程和运输时间关系
=== 极值理论===
=== 预测天气===
=== 可靠性和失效分析 ===
=== 雷达系统 ===
对接受到的杂波信号的依分布建模
=== 拟合度 ===
无线通信技术中，相对指数衰减频道模型，Weibull衰减模型对衰减频道建模有较好的[[拟合度]]
=== 量化寿险模型的重复索赔 ===
=== 预测技术变革===
=== 风速===
由于曲线形状与现实状况很匹配，被用来描述风速的分布 

{{概率分布类型列表}}

[[Category:连续分布]]