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'''韋達跳越'''（{{Lang-en|Vieta jumping}}）是一個處理[[數論]]的證明技巧。通常是藉[[韋達定理]]，來對根進行[[無窮遞降法]]。

==歷史==
韋達跳越在[[国际奥林匹克数学竞赛]]（{{Lang|en|IMO}}）裡是一個相對較新的數論解題技巧，在1988年IMO第一次出了這類的題目，且被認為是當年最難的題目。<ref name="ReferenceA">{{cite book |author=Arthur Engel |title=Problem Solving Strategies |publisher=Springer |year=1998 |page=127 |isbn=978-0-387-98219-9 |doi=10.1007/b97682 |url=http://books.google.com/books?id=B3EYPeKViAwC&pg=PA127 |access-date=2013-03-03 |archive-date=2014-07-05 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140705092236/http://books.google.com/books?id=B3EYPeKViAwC&pg=PA127 |dead-url=no }}</ref>Arthur Engel 曾寫了關於這問題的一段描述：

{{quote|六名澳洲解題委員會委員沒有一人在六小時時限內解出。其中有兩名是[[塞凱賴什·哲爾吉]]和他老婆，都是有名的解題者和出題者。另外四名是澳洲數論學家。這題被他們標記上雙重星號，意味著這題是極難的。經過一長時間的討論，評審委員仍將他列在該年的最後一題。十一名學生給出了完美的解答。}}

在十一名學生中，有一名即為知名的[[菲爾茲獎]]得主[[吳寶珠]]。<ref>{{cite web |url=http://www.imo-official.org/year_individual_r.aspx?year=1988&column=total&order=desc |title=Results of International Mathematical Olympiad 1988 |publisher=Imo-official.org |date= |accessdate=2013-03-03 |archive-date=2013-04-02 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130402180343/http://imo-official.org/year_individual_r.aspx?year=1988&column=total&order=desc |dead-url=no }}</ref>

==標準型韋達跳躍==	
標準型韋達跳躍的中心概念是[[反證法]]，由下列步驟所組成：
#假設存在一個不符合題意的解。
#借由此解製造出的最小解<math>(x, y)</math>，我們可以找到一個更小的解，但這和最小解<math>(x, y)</math>是相違背的。
注：<math>(x, y)</math>的"最小"由一個函數<math>f(x, y)</math>給出，通常可令<math>f(x, y) = x + y</math>。

===範例===
'''1988 IMO #6'''

<math>a</math>和<math>b</math>是正整數，且<math>ab + 1</math>整除<math>a^2 + b^2</math>。試證<math>\frac{a^2 + b^2}{ab + 1}</math>為[[完全平方數]]。
<ref>{{cite web |url=http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?p=352683 |title=AoPS Forum - One of my favourites problems, yeah! • Art of Problem Solving |publisher=Mathlinks.ro |date= |accessdate=2013-03-03 }}{{Dead link}}</ref>
#令{{math|1=''k'' = {{sfrac|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup>|''ab'' + 1}}}}。我們假設在滿足題目的條件下，存在一個或更多不是完全平方數的解{{math|''k''}}。
#對特定{{math|''k''}}，使{{math|(''A'', ''B'')}}為其對應解中{{math|''A'' + ''B''}}最小的，不失一般性可假設{{math|''A'' ≥ ''B''}}。用變數{{math|''x''}}取代{{math|''A''}}，重整方程式可得{{math|1=''x''<sup>2</sup> – (''kB'')''x'' + (''B''<sup>2</sup> – ''k'') = 0}}，其中一根為{{math|1=''x''<sub>1</sub> = ''A''}}。利用[[韋達定理]]，可將另一根表示成{{math|1=''x''<sub>2</sub> = ''kB'' – ''A''}}或是{{math|1=''x''<sub>2</sub> = {{sfrac|''B''<sup>2</sup> – ''k''|''A''}}}}。
#從{{math|''x''<sub>2</sub>}}的第一個表示式可得{{math|''x''<sub>2</sub>}}為整數，第二個表示式可得{{math|''x''<sub>2</sub> ≠ 0}}因為{{math|''k''}}不是完全平方數。進一步的，我們從{{math|1= {{sfrac|''x''<sub>2</sub><sup>2</sup> + ''B''<sup>2</sup>|''x''<sub>2</sub>''B'' + 1}} = ''k'' > 0}}可得{{math|''x''<sub>2</sub>}}為正數。最後，從{{math| ''A'' ≥ ''B''}}可推出{{math|1=''x''<sub>2</sub> = {{sfrac|''B''<sup>2</sup> − ''k''|''A''}} < ''A''}}，所以{{math|''x''<sub>2</sub> + ''B'' < ''A'' + ''B''}}，與{{math|''A'' + ''B''}}為最小矛盾。

==常數型韋達跳躍==
===範例===
<math>a</math>和<math>b</math>是正整數，且<math>ab</math>整除<math>a^2 + b^2 + 1</math>，試證<math>3ab = a^2 + b^2 + 1</math>。<ref>{{cite web |url=http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=40207 |title=AoPS Forum - x*y &#124; x^2+y^2+1 • Art of Problem Solving |publisher=Mathlinks.ro |date=2005-06-07 |accessdate=2013-03-03 }}{{Dead link}}</ref>

==幾何解釋==
===範例===
'''1988 IMO #6'''一樣可以使用幾何解釋解出。<math>a</math>和<math>b</math>是正整數，且<math>ab + 1</math>整除<math>a^2 + b^2</math>。試證<math>\frac{a^2 + b^2}{ab + 1}</math>為完全平方數。

==參見辭條==
* [[韋達定理]]
* [[反證法]]
* [[馬爾可夫方程]]
* [[無窮遞降法]]

==参考文献==
{{Reflist}}

[[Category:数论]]
[[分类:数学术语]]
[[分类:数学证明]]