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{{distinguish|反對稱關係}}
在[[數學]]中，'''非對稱關係'''（{{lang-en|Asymmetric relation}}）是[[二元关系|二元關係]]的一種。若[[集合 (数学)|集合]] <math>X</math> 上的二元關係 <math>R</math> 為非對稱關係，則對於所有 <math>a, b \in X</math>，<math>(a,b) \in R \implies (b,a) \not \in R</math>。換句話說，如果 <math>a</math> 至 <math>b</math> 存在關係，則 <math>b</math> 至 <math>a</math> 不存在關係<ref>{{citation|first1=David|last1=Gries|author1-link=|first2=Fred B.|last2=Schneider|author2-link=|title=A Logical Approach to Discrete Math|publisher=Springer-Verlag|year=1993|page=[https://books.google.com/books?id=ZWTDQ6H6gsUC&pg=PA273 273]}}.</ref>。 

== 正式定義 ==
一個定義於 <math>X</math> 上的[[二元关系|二元關係]] <math>R</math> 是 <math>X\times X</math> 的任何[[子集]]。給定 <math>a, b \in X</math>，我們將 <math>(a, b) \in R</math> 簡寫為 <math>a R b</math>，讀作「<math>a</math> 至 <math>b</math> 存在關係 <math>R</math>（<math>a</math> is related to <math>b</math> by <math>R</math>）」。

如果對於所有 <math>a, b \in X</math>，若 <math>a R b</math>，則 <math>b \not R a</math>（也就是 <math>(a,b) \in R \implies (b,a) \not \in R</math> ），則我們稱 <math>R</math> 是'''非對稱'''的。以[[一阶逻辑|一階邏輯]]的形式可以寫成：

<math display=block>\forall a, b \in X: a R b \implies \lnot(b R a)</math>

一個邏輯等價的定義如下：對於所有 <math>a, b \in X</math>，<math>a R b</math> 與 <math>b R a</math> 中至少有一為假。以一階邏輯的形式可以寫成：

<math display=block>\forall a, b \in X: \lnot(a R b \wedge b R a)</math>

非對稱關係的一個例子是定義於[[實數]]上的「小於關係」，亦即 <math>R=\{(a,b)\ |\ a < b \}</math>。由於當 <math>a</math> 小於 <math>b</math> 時，<math>b</math> 一定不小於 <math>a</math>，因此 <math>R</math> 是非對稱的。另一方面，「小於等於關係」則不是非對稱的，因為當 <math>a = b</math> 時，<math>a \leq b</math> 和 <math>b \leq a</math> 會同時成立，不符合非對稱關係的定義。

非對稱關係不代表[[对称关系|對稱關係]]的相反，上述的「小於等於關係」既不是非對稱關係，也不是對稱關係；而「空關係（<math>R = \empty</math>）」是唯一同時是非對稱關係，也是對稱關係的關係。

非對稱關係（Asymmetric）與[[反对称关系|反對稱關係]]（Antisymmetric）的差異在於：反對稱關係容許[[自反关系|自反性]]，<math>(a,a)</math> 可以屬於 <math>R</math>，而非對稱關係不允許。如上述的「小於等於關係」即是反對稱關係的一例。

== 特性 ==

* 一個關係為非對稱的，若且唯若該關係為[[反对称关系|反對稱]]且[[自反关系#相关概念|非自反]]的<ref>{{citation|first1=Yves|last1=Nievergelt|title=Foundations of Logic and Mathematics: Applications to Computer Science and Cryptography|publisher=Springer-Verlag|year=2002|page=[https://books.google.com/books?id=_H_nJdagqL8C&pg=PA158 158]}}.</ref>。
*對於一個非對稱關係 <math>R</math>，對其施加[[二元关系#运算|限制]]或求其[[二元关系#运算|逆關係]]後，該關係同樣是非對稱的。例如，由「<math><</math>」定義的關係是非對稱關係（若 <math>a<b</math> 則 <math>b \not < a</math>），若將集合從實數限縮至整數，該關係同樣是非對稱的；求該關係的逆關係「<math>></math>」，該逆關係同樣是非對稱的。
*一個[[遞移關係]]為非對稱的，若且唯若該關係為[[自反关系#相关概念|非自反]]的<ref>{{cite book|last1=Flaška|publisher=School of Mathematics - Physics Charles University|archive-date=2013-11-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20131102214049/http://www.karlin.mff.cuni.cz/~jezek/120/transitive1.pdf|access-date=2013-08-20|url=http://www.karlin.mff.cuni.cz/~jezek/120/transitive1.pdf|page=1|location=Prague|year=2007|first1=V.|title=Transitive Closures of Binary Relations I|first4=J.|last4=Kortelainen|first3=T.|last3=Kepka|first2=J.|last2=Ježek|url-status=dead}} Lemma 1.1 (iv). Note that this source refers to asymmetric relations as "strictly antisymmetric".</ref>：若存在 <math>aRb</math> 且 <math>bRa</math> 使得該關係不是非對稱，則由遞移性可得到 <math>aRa</math>，使得該關係同樣不是非自反關係。
*一個關係為遞移性的且非對稱的，若且唯若該關係為[[偏序关系#定义|嚴格偏序]]的。
*一個非對稱關係不一定是[[全關係]]。例如，由「嚴格子集」定義的關係是非對稱關係（若 <math>A \subset B</math> 則 <math>B \not \subset A</math>），但不是全關係（<math>\{1, 2\} \not \subset \{3, 4\}</math> 又 <math>\{3, 4\} \not \subset \{1, 2\}</math>）。

== 参见 ==
* [[反对称关系]]
* [[对称关系]]

==參考資料==

{{Reflist}}

[[Category:数学关系]]