查看“︁電磁場的動力學理論”︁的源代码

{{NoteTA|G1=物理學}}
《'''電磁場的動力學理論'''》（{{lang-en|''A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field''}}）是一篇[[詹姆斯·馬克士威]]發於1864年的論文，這篇論文是他所寫的第三篇關於[[電磁學]]的論文<ref name=ADTEF>{{Citation |last=馬克士威 |first=詹姆斯 |author-link=詹姆斯·馬克士威 |title=A dynamical theory of the electromagnetic field |url=http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/19/A_Dynamical_Theory_of_the_Electromagnetic_Field.pdf |format=pdf |journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London |volume=155 |pages=459–512 |year=1865 |accessdate=2010-07-15 |archive-date=2011-07-28 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110728140123/http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/19/A_Dynamical_Theory_of_the_Electromagnetic_Field.pdf |dead-url=no }}</ref>。在這篇論文裏，他首次系統性地陳列出馬克士威方程組。馬克士威又應用了先前在他的1861年論文《[[論物理力線]]》裏提出的[[位移電流]]的概念，來推導出[[電磁波方程式]]<ref name=OPLF>{{Citation |last=馬克士威 |first=詹姆斯 |author-link=詹姆斯·馬克士威 |title=On physical lines of force |url=http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b8/On_Physical_Lines_of_Force.pdf |format=pdf |journal=Philosophical Magazine |year=1861 |accessdate=2010-07-15 |archive-date=2009-06-12 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090612093805/http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b8/On_Physical_Lines_of_Force.pdf }}</ref>。由於這導引將[[電學]]、[[磁學]]和[[光學]]聯結成一個統一理論。這創舉現在已被物理學術界公認為[[物理學史]]的重大里程碑。

這篇論文明確地闡明，能量儲存於電磁場內。因此，它在歷史上首先建立了[[場論]]的基礎概念。<ref name=Yang>{{cite journal | last =Yang | first =ChenNing | title =The conceptual origins of Maxwell's equations and gauge theory | url =https://archive.org/details/sim_physics-today_2014-11_67_11/page/45 | journal =Physics Today | volume =67 | issue =11 | pages =45-51 | date =2014 | doi =10.1063/PT.3.2585}}</ref>

==馬克士威原本的方程式==
在這篇論文的標題為'''電磁場一般方程式'''的第三章裏，馬克士威列出了涉及二十個未知量的二十個方程式，在那時期，稱為[[馬克士威方程組]]。由於[[向量微積分]]尚在發展中，這二十個方程式都是以分量形式表示，其中，有十八個方程式可以用六個向量方程式集中表示（對應於每一個直角坐標，有一個方程式），另外剩下的兩個是純量方程式。所以，以向量標記，馬克士威方程組可以表示為八個方程式。1884年，從這八個方程式，[[奧利弗·黑維塞]]重新編排出四個方程式，並且稱這一組方程式為馬克士威方程組。今天廣泛使用的馬克士威方程組就是黑維塞編成的這一組方程式。

黑維塞版本的馬克士威方程組是以現代向量標記法寫出。在原先版本的八個方程式裏，只有一個方程式，[[高斯定律]]的方程式(G)，完整不變地出現於黑維塞版本。另外一個在黑維塞版本的方程式，乃是由總電流定律的方程式(A)與[[安培環路定理]]的方程式(C)共同湊合而成。這方程式包含了馬克士威的[[位移電流]]，是安培環路定理的延伸。

以向量標記，馬克士威方程組的原先版本的八個方程式，分別寫為
;(A) 總電流定律   
:<math>\mathbf{J}_{tot} = \mathbf{J} + \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}</math> 、

;(B) 磁場方程式   
:<math>\mu \mathbf{H} = \nabla \times \mathbf{A}</math> 、
	
;(C) 安培環路定理   
:<math>\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}_{tot}</math> 、

;(D) 勞侖茲力方程式
:<math>\mathbf{E} = \mu \mathbf{v} \times \mathbf{H} - \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}-\nabla \phi </math> 、

;(E) 電彈性方程式   
:<math>\mathbf{E} = \frac{1}{\epsilon} \mathbf{D}</math> 、

;(F) 歐姆定律
:<math>\mathbf{E} = \frac{1}{\sigma} \mathbf{J}</math> 、

;(G) 高斯定律
:<math>\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho</math> 、

;(H) 連續方程式
:<math>\nabla \cdot \mathbf{J} = -\frac{\partial\rho}{\partial t}</math> 。

;標記符號：
:<math>\mathbf{H}</math> 是[[磁場強度]]，
:<math>\mathbf{J}</math> 是[[傳導電流|傳導電流密度]]， 
:<math>\mathbf{J}_{tot}</math> 是總[[電流密度]]（包括位移電流密度），
:<math>\mathbf{D}</math> 是[[電位移]]，  
:<math>\rho</math> 是[[自由電荷]]密度， 
:<math>\mathbf{A}</math> 是[[磁向量勢]]，
:<math>\mathbf{E}</math> 是[[電場]]， 
:<math>\phi</math> 是[[電勢]]，  
:<math>\mu</math> 是[[磁導率]]，
:<math>\epsilon</math> 是[[電容率]]，  
:<math>\sigma</math> 是[[電導率]] 。

關於[[介質]]的性質，馬克士威並沒有試着處理比較複雜的狀況。他表述的主要是線性、均向性、非色散性物質；他也稍微談到一些有關異向性的[[晶體]]物質的問題。

值得注意的是，馬克士威將 <math>\mu \mathbf{v} \times \mathbf{H}</math> 項目包括於他的合勢方程式(D)。這項目表達一個以速度 <math>\mathbf{v}</math> 移動的[[導體]]所感受到的單位電荷的磁場力而產生的[[動生電動勢]]。這意味著合勢方程式(D)表達了[[勞侖茲力]]。這方程式最先出現為論文《[[論物理力線]]》的方程式(77)，比勞侖茲想到這問題早了很多年。現在，[[勞侖茲力|勞侖茲力方程式]]列為馬克士威方程組之外的額外方程式，並沒有被包括在馬克士威方程組裏面。

==光波是電磁波==
[[Image:James Clerk Maxwell.jpg|thumb|right|300px|馬克士威，電磁學之父]]

在論文《電磁場的動力學理論》裏，馬克士威應用了的1861年論文《[[論物理力線]]》第三節裏對於安培環路定理的修正，將[[位移電流]]與其它已成立的電磁方程式合併，因而得到了描述電磁波的[[波動方程式]]。最令人振奮的是，這方程式所描述的波動的波速等於光波的速度。他於是說<ref>{{Citation
  | last = 馬克士威
  | first =詹姆斯 
  | author-link =詹姆斯·馬克士威 
  | title = A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field
  | year =1864 
  |pages= pp. 499}}</ref>：
{{Quotation|這些殊途一致的結果，似乎意味著光波與電磁波都是同樣物質的屬性，光波是按照著電磁定律傳播於電磁場的電磁擾動。|詹姆斯·馬克士威}}

馬克士威在對於光波是一種電磁現象的推導裏，並沒有使用[[法拉第電磁感應定律]]，而是使用方程式(D)來解釋電磁感應作用。由於不考慮[[導體]]的運動，項目 <math>\mu \mathbf{v} \times \mathbf{H}</math> 可以被刪除。事實上，他的八個方程式裏，並沒有包括法拉第電磁感應定律方程式在內。

由於馬克士威的推導比較冗長，現代的教科書已不再採用這推導，改而選擇另一種比較簡易了解的推導，這推導主要是使用[[馬克士威-安培定律]]（安培環路定理的延伸）與法拉第電磁感應定律。

==馬克士威的推導==
假設電磁波是一個[[平面波]]，以[[波速]] <math>V</math> 向正z-軸的方向傳播於某介質，則描述此電磁波的每一個函數都擁有參數 <math>w=z - Vt</math> 。根據磁向量定義式(B)，
:<math>\mathbf{B}= - \hat{x}\frac{\partial A_y}{\partial z}+ \hat{y}\frac{\partial A_x}{\partial z}</math> ；

其中，<math>B\ \stackrel{def}{=}\ \mu\mathbf{H}</math> 是[[磁感應強度]]的定義式。

注意到 <math>B_z=0</math> ， 還有，<math>\mathbf{B}</math> 垂直於平面波的傳播方向，這電磁波是個[[橫波]]。

根據安培環路定理(C)，
:<math>\mathbf{J}_{tot}= - \hat{x}\frac{\partial H_y}{\partial z}+ \hat{y}\frac{\partial H_x}{\partial z}
= - \frac{1}{\mu}\left(\hat{x}\frac{\partial^2 A_x}{\partial z^2}+\hat{y}\frac{\partial^2 A_y}{\partial z^2}\right)</math> ；

假設介質是個[[絕緣體]]，傳導電流密度 <math>\mathbf{J}</math> 等於零，則根據總電流定律(A)和電彈性方程式(E)，
:<math>\mathbf{J}_{tot}=\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}=\epsilon\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math> ；

假設導體的速度等於零，即動生電動勢項目等於零，則根據合勢方程式(D)，
:<math>\frac{\partial^2 A_x}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 A_x}{\partial t^2}=0</math> 、
:<math>\frac{\partial^2 A_y}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 A_y}{\partial t^2}=0</math> 。

再應用磁向量定義式(B)，就可以得到磁場的波動方程式：
:<math>\frac{\partial^2 B_x}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 B_x}{\partial t^2}=0</math> 、
:<math>\frac{\partial^2 B_y}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 B_y}{\partial t^2}=0</math> 。

[[鏈式法則]]要求
:<math>\frac{\partial}{\partial z}=\frac{\partial w}{\partial z}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}</math> 、
:<math>\frac{\partial}{\partial t}=\frac{\partial w}{\partial t}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}= - V\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}</math> 。

所以，
:<math>\frac{\mathrm{d}^2 B_x}{\mathrm{d} w^2} - \mu\epsilon V^2\frac{\mathrm{d}^2 B_x}{\mathrm{d} w^2}=0</math> 、
:<math>\frac{\mathrm{d}^2 B_y}{\mathrm{d} w^2} - \mu\epsilon V^2\frac{\mathrm{d}^2 B_y}{\mathrm{d} w^2}=0</math> 。

傳播的速度為
:<math>V=1/\sqrt{\mu\epsilon}</math> 。

設定磁導率為[[磁常數]] <math>\mu_0</math> ，電容率為[[電常數]] <math>\epsilon_0</math> ，則傳播速度是電磁波傳播於[[自由空間]]的速度。

類似地，應用合勢方程式(D)，可以得到電場的波動方程式：
:<math>\frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2}=0</math> 、
:<math>\frac{\partial^2 E_y}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 E_y}{\partial t^2}=0</math> 、
:<math>E_z= - \frac{\partial A_z}{\partial t} - \frac{\partial \phi}{\partial z}</math> 。

注意到，<math>E_z</math> 可能不等於零。在尚未更清楚了解電荷密度的性質之前，馬克士威不排除電場波為[[縱波]]的可能性。

==現代推導==
在[[自由空間]]裏，黑維塞版的馬克士威方程組的四個微分方程式為
:<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0</math> 、<span style="position:absolute;right:15%">(1)</span>
:<math> \nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math> 、<span style="position:absolute;right:15%">(2)</span>
:<math> \nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math> 、<span style="position:absolute;right:15%">(3)</span>
:<math> \nabla \times \mathbf{B} =\mu_0 \varepsilon_0 \frac{ \partial \mathbf{E}} {\partial t}</math> ；<span style="position:absolute;right:15%">(4)</span>

其中，<math>\mu_0</math> 是[[磁常數]]，<math>\varepsilon_0</math> 是[[電常數]]。

分別取公式 (2) 、(4) 的[[旋度]]，
:<math> \nabla \times(\nabla \times \mathbf{E})= - \frac{\partial } {\partial t} (\nabla \times \mathbf{B})= - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E} }  {\partial t^2} </math> 、
:<math> \nabla \times(\nabla \times \mathbf{B})= \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial } {\partial t}(\nabla \times \mathbf{E})= - \mu_o \varepsilon_o \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} </math> 。

應用一則[[向量恆等式列表|向量恆等式]]
:<math>\nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{Z} \right) = \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf{Z} \right) - \nabla^2 \mathbf{Z}</math>； 

其中，<math> \mathbf{Z} </math> 是任意向量函數。

將公式 (1) 、(3) 代入，即可得到波動方程式：
:<math>\left(\nabla^2 - \frac{ 1}{{c}^2 }\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \mathbf{E}\ =\ 0</math> 、<span style="position:absolute;right:15%">(5)</span>
:<math>\left(\nabla^2 - \frac{ 1}{{c}^2 }\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \mathbf{B}\ =\ 0</math> ；<span style="position:absolute;right:15%">(6)</span>

其中，<math>c=c_0 = { 1 \over \sqrt{ \mu_0 \varepsilon_0 } } = 2.99792458 \times 10^8 </math> ［公尺／秒］是電磁波傳播於[[自由空間]]的速度。

==參閱==
*《[[論法拉第力線]]》
*[[電磁波方程式]]
*[[弯曲时空中的麦克斯韦方程组]]
*[[非齊次的電磁波方程]]
*[[馬克士威應力張量]]
*[[麦克斯韦方程组的历史]]
*[[電磁學與經點光學時間表]]({{lang|en|Timeline of electromagnetism and classical optics}})

==參考文獻==
{{reflist}}
<small>
* {{citation |first1=James C. |last1=Maxwell |first2=Thomas F. |last2=Torrance |title=A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field |isbn=1-57910-015-5 |publisher=Wipf and Stock |location=Eugene, OR|date=March 1996}}
* {{citation |last=Niven |first=W. D. |title=The Scientific Papers of James Clerk Maxwell'' |publisher=Dover |location=New York |year=1952 |volume=Vol. 1}}
</small>

{{DEFAULTSORT:D}}
[[Category:電磁學]]
[[Category:電動力學]]
[[Category:詹姆斯·克拉克·馬克士威]]
[[Category:1864年科學]]
[[Category:1864年作品]]