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{{NoteTA
|G1=Physics
}}
在[[電磁學]]裏，'''電位移'''（{{lang-en|electric displacement field}}）是出現於[[馬克士威方程組]]的一種[[向量場]]，可以用來解釋[[介電質]]內[[自由電荷]]所產生的效應。電位移<math>\mathbf{D}</math>以方程式定義為<ref name="Griffiths1998">{{citation| author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Electrodynamics (3rd ed.)| publisher=Prentice Hall |year=1998|pages = pp. 175, 179-184 |isbn=0-13-805326-X}}</ref>
:<math>\mathbf{D}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \varepsilon_{0} \mathbf{E} + \mathbf{P}</math>；

其中，<math>\varepsilon_{0}</math>是[[電常數]]，<math>\mathbf{E}</math>是[[電場]]，<math>\mathbf{P}</math>是[[電極化強度]]。

== 概述 ==
[[高斯定律]]表明，電場的[[散度]]等於總[[電荷密度]]<math>\rho_{total}</math>除以電常數：
:<math>\nabla\cdot\mathbf{E} = \rho_{total}/\varepsilon_0</math>。

電極化強度的散度等於負[[束縛電荷|束縛電荷密度]]<math> - \rho_{bound}</math>：
:<math>\nabla\cdot\mathbf{P} = - \rho_{bound}</math>。

而總電荷密度等於束縛電荷密度加上[[自由電荷|自由電荷密度]]<math>\rho_{free}</math>：
:<math>\rho_{total} =\rho_{free}+\rho_{bound}</math>。

所以，電位移的[[散度]]等於自由電荷密度<math>\rho_{free}</math>：
:<math>\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_{free}</math>。

這與[[高斯定律]]的方程式類似。假設，只給定自由電荷密度<math>\rho_{free}</math>，或許可以用高斯方法來計算電位移<math>\mathbf{D}</math>。但是，在這裏，不能使用這方法。只知道自由電荷密度<math>\rho_{free}</math>，有時候仍舊無法計算出電位移。思考以下關係式：
:<math>\nabla \times \mathbf{D} = \varepsilon_{0}(\nabla \times \mathbf{E}) + (\nabla \times \mathbf{P})</math>。
:並根據[[法拉第感應定律]]：<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\dot{\mathbf{B}}</math> , 其中<math>\dot{\mathbf{B}}</math>是磁場相對於時間的變化率
:<math>\nabla \times \mathbf{D} + \varepsilon_{0}\dot{\mathbf{B}} = \nabla \times \mathbf{P}</math>
:假設電磁場為不含時變電磁場（即與時間無關的電磁場），<math>\dot{\mathbf{B}}=0</math>，則
:<math>\nabla \times \mathbf{D} = \nabla \times \mathbf{P}</math>。

假若<math>\nabla \times \mathbf{P}\ne 0</math>，則雖然設定<math>\rho_{free}=0</math>，電位移仍舊不等於零：<math>\mathbf{D}\ne 0</math>！

舉例而言，擁有固定電極化強度<math>\mathbf{P}</math>的[[永電體]]，其內部不含有任何自由電荷，但是內在的電極化強度<math>\mathbf{P}</math>會產生電場。

只有當問題本身具有某種對稱性，像[[圓對稱#球對稱性|球對稱性]]或[[圓對稱#圓柱對稱性|圓柱對稱性]]等等，才能夠直接使用高斯方法，從自由電荷密度計算出電位移與電場。否則，必需將電極化強度<math>\mathbf{P}</math>和[[邊界條件]]納入考量。

== 線性電介質 ==
「線性電介質」，對於外電場的施加，會產生線性響應。例如，[[鐵電性|鐵電材料]]是非線性電介質。假設線性電介質具有[[各向同性]]，則其電場與電極化強度的關係式為<ref name=Jackson1999>{{citation|last=Jackson|first=John David|title=Classical Electrodynamic|publisher = John Wiley & Sons, Inc. |year=1999|location=USA|edition=3rd.|pages=pp. 151-154|isbn=978-0-471-30932-1}}</ref>
:<math>\mathbf{P}=\chi_e \varepsilon_{0} \mathbf{E}</math>；

其中，<math>\chi_e</math>是[[電極化率]]。

將這關係式代入電位移的定義式，可以得到
:<math>\mathbf{D}= (1+\chi_e) \varepsilon_0\mathbf{E}=\varepsilon\mathbf{E}</math>；

其中，<math>\varepsilon</math>是[[電容率]]。

所以，電位移與電場成正比；其比率是電容率。另外，
:<math>\nabla\cdot(\varepsilon\mathbf{E})=\rho_{free}</math>。

假設這電介質具有均勻性，則電容率<math>\varepsilon</math>是常數：
:<math>\nabla\cdot\mathbf{E}=\rho_{free}/\varepsilon</math>。

定義[[相對電容率]]<math>\varepsilon_r</math>為
:<math>\varepsilon_r\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \varepsilon/\varepsilon_0</math>。

相對電容率與電極化率有以下的關係：
:<math>\varepsilon_r=1+\chi_e</math>。

要注意的一点是，上式<math>\mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E}</math>的描述只是一种近似关系，当<math>\mathbf{E}</math>变得很大时，<math>\mathbf{D}</math>与<math>\mathbf{E}</math>就不再成正比关系了。这主要是由于电介质物质的物理特性是很复杂的。也可以理解为，这个式子就像胡克定律一样，只是一种近似。

[[各向異性]]線性電介質的電容率是個[[張量]]。例如，[[晶體]]的電容率通常必需用張量來表示。

== 應用範例 ==
[[FILE:ElectricDisplacement01.png|thumb|350px|right|平行板電容器的兩片平板導體分別含有的正負自由電荷，會產生電位移。藉著一個扁長方形盒子，可以用高斯定律來解釋電位移與自由電荷的關係。]]
如右圖所示，[[電容器|平行板電容器]]是由互相平行、以空間或[[電介質]]相隔的兩片平板[[導體]]構成的電容器。假設上下兩片平板導體分別含有負電荷與正電荷，含有的電荷量分別為<math>-Q</math>、<math>+Q</math>。又假設兩片平板導體之間的間隔距離超小於平板的長度與寬度，則可以視這兩片平板導體為無限平面；做簡單計算時，不必顧慮邊緣效應。由於系統的對稱性，可以應用[[高斯定律]]來計算電位移，其方向必定是從帶正電平板導體指向帶負電平板導體，而且垂直於平板導體；又由於平板導體含有的電荷是自由電荷，不需要知道電介質的性質，就可以應用關於自由電荷的[[高斯定律]]來計算電位移。

先計算帶正電平板導體所產生的電位移。試想一個扁長方形盒子，其頂面和底面分別在這平板導體的兩邊，平行於平板導體；而盒子的其它四個側面都垂直於平板導體。根據關於自由電荷的高斯定律，
: <math>\oint_{\mathbb{S}} \mathbf{D}_+ \cdot \mathrm{d}\mathbf{a} = Q</math>；

其中，<math>\mathbb{S}</math>是扁長方形盒子的閉合表面，<math>\mathbf{D}_+</math>是帶正電平板導體所產生的電位移，<math>d\mathbf{a}</math>是微小面元素。

由於扁長方形盒子的四個側面的面向量都與<math>\mathbf{D}_+</math>向量相垂直，它們對於積分的貢獻是零；只有盒子的頂面和底面對於積分有貢獻：
: <math>2D_+ A= Q</math> ;

其中，<math>A</math>是盒子頂面、底面的面積。

所以，<math>\mathbf{D}_+</math>向量的方向是從帶正電平板導體垂直地向外指出，大小為
: <math>D_+=Q/2A</math>。

類似地，可以計算出帶負電平板導體所產生的電位移；<math>\mathbf{D}_-</math>向量的方向是垂直地指向帶負電平板導體，大小為
: <math>D_- =Q/2A</math>。

應用[[疊加原理]]，可以計算這兩片帶電平板導體一起產生的電位移。在這兩片平板導體之間，<math>\mathbf{D}_+</math>和<math>\mathbf{D}_-</math>的方向相同；應用[[疊加原理]]，電位移的[[量 (數學)|大小]]等於平板導體的表面電荷密度：<math>D =Q/A</math>。在兩片平板導體的共同上方或共同下方，<math>\mathbf{D}_+</math>和<math>\mathbf{D}_-</math>的方向相反；應用[[疊加原理]]，電位移的大小等於零。

假設電介質的電容率為<math>\varepsilon</math>，則在兩片平板導體之間，[[電場]]的大小為
:<math>E=D/\varepsilon=Q/\varepsilon A</math>。

假設兩片平板導體的間隔距離為<math>d</math>，則[[電壓]]<math>V</math>為
:<math>V=Ed=Q d/\varepsilon A</math>。

這平行板電容器的電容<math>C</math>為
:<math>C=Q/V=\varepsilon A/d</math>。

== 參閱 ==
* 《[[論法拉第力線]]》
* 《[[論物理力線]]》
* [[位移電流]]
* [[電磁波方程式]]

== 參考文獻 ==
{{reflist|2}}
{{电磁学}}
[[Category:電磁學|D]]
[[Category:靜電學|D]]