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[[File:Sierpinski_triangle.svg|thumb|[[謝爾賓斯基三角形|谢尔宾斯基三角形]]是由<math>\mathbb R^2</math>中的点构成的零测集]]
在[[数学分析]]中，'''零测集'''（{{Lang-en|Null set}}）是一个[[测度]]为0的可测集，它可以被[[可數集|可数个]]测度为任意小的开[[区间]]的并集[[覆盖 (拓扑学)|覆盖]]的[[集合 (数学)|集合]]。

零测集的概念不应与集合论中定义的空集混淆。空集的勒贝格测度为0，但也存在非空集的测度为0。例如，任何非空的可数实数集的勒贝格测度为零，因此它为零测集。

更一般的，给定测度空间<math>M=\left( X,\Sigma, \mu \right)</math>，零测集<math>S\in\Sigma</math>满足<math>\mu(S)=0</math>。

== 例子 ==
实数的有限或可数无限子集都是零测集。例如自然数集合和有理数集合都是实数集的可数无限子集，因此它们是零测集。

[[康托尔集]]是一个不可数的零测集。

== 定义 ==
设<math>A</math>是实数集<math>\mathbb{R}</math>的子集，满足

<math>
\forall \varepsilon > 0, \ \exists \left\{U_n\right\}_n : U_n=(a_n,b_n)\subset \mathbb{R}: \quad 
A \subset \bigcup_{n = 1}^\infty U_n \ \land\ \sum_{n = 1}^\infty \left|U_n\right| < \varepsilon \,,
</math>

其中<math>U_n</math>表示区间，<math>|U|</math>是区间<math>U</math>的长度，则<math>A</math>是零测集。<ref>{{cite book|first=John|last=Franks|date=2009|title=A (Terse) Introduction to Lebesgue Integration|volume=48|page=28|publisher=[[American Mathematical Society]]|isbn=978-0-8218-4862-3|doi=10.1090/stml/048|series=The Student Mathematical Library}}</ref>

在数学分析的术语中，这个定义要求存在<math>A</math>的开[[覆盖 (拓扑学)|覆盖]]序列，该序列覆盖长度的极限收敛到0。

== 性质 ==

* 空集总是零测集。
* 可数个零测集的并集是零测集。
* 零测集的任何一个可测子集是零测集。

== 应用 ==
零测集在[[勒贝格积分]]的定义中起到了关键作用。如果函数f和函数g除一个零测集以外处处相等，则f可积当且仅当g可积，并且二者的积分相等。这使[[Lp空间]]定义为除零测集外均为同一类函数的集合。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}
[[Category:集合论]]
[[Category:测度论]]