零测集

谢尔宾斯基三角形是由${ℝ}^2$中的点构成的零测集

在数学分析中，零测集（Template:Lang-en）是一个测度为0的可测集，它可以被可数个测度为任意小的开区间的并集覆盖的集合。

零测集的概念不应与集合论中定义的空集混淆。空集的勒贝格测度为0，但也存在非空集的测度为0。例如，任何非空的可数实数集的勒贝格测度为零，因此它为零测集。

更一般的，给定测度空间$M=(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$，零测集$S\in \mathrm{\Sigma }$满足$\mu (S)=0$。

例子

实数的有限或可数无限子集都是零测集。例如自然数集合和有理数集合都是实数集的可数无限子集，因此它们是零测集。

康托尔集是一个不可数的零测集。

定义

设$A$是实数集$ℝ$的子集，满足

$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }{\left\{U_n\right\}}_n:U_n=(a_n,b_n)\subset ℝ:A\subset \bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{U}_n\wedge \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left|U_n\right|<\epsilon ,$

其中$U_n$表示区间，$|U|$是区间$U$的长度，则$A$是零测集。

在数学分析的术语中，这个定义要求存在$A$的开覆盖序列，该序列覆盖长度的极限收敛到0。

性质

• 空集总是零测集。
• 可数个零测集的并集是零测集。
• 零测集的任何一个可测子集是零测集。

应用

零测集在勒贝格积分的定义中起到了关键作用。如果函数f和函数g除一个零测集以外处处相等，则f可积当且仅当g可积，并且二者的积分相等。这使Lp空间定义为除零测集外均为同一类函数的集合。