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{{unreferenced|time=2018-12-13T08:52:39+00:00}}
在數學中，雙調和方程是一個四階偏微分方程式，出現在連體力學，包括線性彈性理論和史托克流的解。寫成

:<math>\nabla^4\varphi=0</math><math />

或

:<math>\nabla^2\nabla^2\varphi=0</math><math />

或

:<math>\Delta^2\varphi=0</math><math />

 <math>\nabla^4</math> 為四階的 [[Nabla算子]]，或是[[拉普拉斯算子]]的平方，稱為雙調和'''算子'''。 在 n 維座標下，以[[爱因斯坦求和约定]]可寫成 <math /><math /><math />

:<math>
\nabla^4\varphi=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\partial_i\partial_i\partial_j\partial_j \varphi.
</math><math />

例如，在三維[[笛卡尔坐标系|笛卡兒坐標系]]的雙調和方程式寫做

:<math>
{\partial^4 \varphi\over \partial x^4 } +
{\partial^4 \varphi\over \partial y^4 } +
{\partial^4 \varphi\over \partial z^4 }+ 
2{\partial^4 \varphi\over \partial x^2\partial y^2}+
2{\partial^4 \varphi\over \partial y^2\partial z^2}+
2{\partial^4 \varphi\over \partial x^2\partial z^2} = 0.
</math><math />

另外一個例子，在 ''n''-维[[歐幾里得空間]]，

:<math>\nabla^4 \left({1\over r}\right)= {3(15-8n+n^2)\over r^5}</math><math />

其中

:<math>r=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}.</math><math />

在 ''n=3 和 n=5''  才能行成雙調和方程式。

雙調和方程式的解為雙調和函數。任何[[調和函數]]都是雙調和函數，但雙調和函數不一定是[[調和函數]]。 在二維極坐標中，雙調和方程為

<math>
\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(r \frac{\partial}{\partial r} \left(\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(r \frac{\partial \varphi}{\partial r}\right)\right)\right)
 + \frac{2}{r^2} \frac{\partial^4 \varphi}{\partial \theta^2 \partial r^2}
 + \frac{1}{r^4} \frac{\partial^4 \varphi}{\partial \theta^4}
 - \frac{2}{r^3} \frac{\partial^3 \varphi}{\partial \theta^2 \partial r}
 + \frac{4}{r^4} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial \theta^2} = 0
</math>

可用[[分離變數法]]求解，其解為 {{Tsl|en|Michell solution}} 。 

[[Category:橢圓型偏微分方程]]