查看“︁集合 (数学)”︁的源代码

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{{NoteTA|G1=Math}}{{about|数学家们所称的“直观”或“朴素”的集合理论|更详细的说明|朴素集合论|有关集合的现代严格[[公理系统|公理化]]理論|公理化集合论}}
[[File:Example_of_a_set.svg|链接=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Example_of_a_set.svg|缩略图|一个包含一些[[多边形]]的集合]]

'''集合'''（{{lang-en|set}}）簡稱'''集'''，是一个基本的[[数学模型]]，指若干不同物件（{{lang-en|object}}）形成的总体。集合裡的物件称作'''[[元素 (數學)|元素]]'''或成员，它们可以是任何类型的[[数学对象]]：数字、符号、变量、空间中的点、线、面，甚至是其他集合。若<math>x</math>是集合<math>A</math>的元素，記作<math>x\in A</math>。不包含任何元素的集合称为空集；只包含一个元素的集合称为单元素集合。集合可以包含有限或无限个元素。如果两个集合所包含的元素完全相同，我们称这两个集合相等。

集合在现代[[数学]]无处不在，其基本理论是于[[十九世纪]]末创立的。自20世纪上半叶以来，集合理论，更确切地说是[[策梅洛-弗兰克尔集合论]]，一直是为所有数学分支奠定严格实际基础的标准。

== 导言 ==
=== 定义 ===
简单来说，所谓的一个集合，就是将数个对象归类而分成为一个或数个形态各异的大小整体。一般来讲，集合是具有某种特性的事物的整体，或是一些确认对象的汇集。构成集合的事物或对象称作“[[元素 (數學)|元素]]”或“成员”。集合的元素可以是任何事物，可以是人，可以是物，也可以是字母或数字等。

在數學交流當中為了方便，集合會有一些別名。比如：

* 族、系：通常指它的元素也是一些集合。

=== 符号 ===

元素通常用<math>a,\ b,\ c,\ d,\ x</math>等小写字母來表示；而集合通常用<math>\mathbf{A,\ B,\ C,\ D,\ X}</math>等大寫字母來表示。

當元素<math>a</math>属于集合<math>\mathbf{A}</math>時，记作<math>a\in\mathbf{A}</math>。

当元素<math>a</math>不属于集合<math>\mathbf{A}</math>时，记作<math>a\not \in\mathbf{A}</math>。

如果<math>\mathbf{A ,\ B}</math>两个集合所包含的元素完全一样，则二者相等，写作<math>\mathbf{A = B}</math>。

=== 特性 ===

'''无序性'''：一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。
* 集合上可以定义序关系，定义了序关系后，元素之间就可以按照序关系排序。但就集合本身的特性而言，元素之间没有必然的序。（参见[[序理论]]）
'''互异性'''：一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。
* 有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画，可以使用[[多重集]]，其中的元素允许出现多次。
'''确定性'''：给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。

== 表示 ==

* 集合可以用文字或数学符号描述，称为'''描述法'''，比如：
:<math>A=</math>大于零的前三个[[自然数]]
:<math>B=</math>光的三原色和白色

* 集合的另一种表示方法是在大括号中列出其元素，称为'''列举法'''，比如：
:<math>C=\left \{ 1,2,3 \right \}</math>
:<math>D=\{</math>红色<math>,</math>蓝色<math>,</math>绿色<math>,</math>白色<math>\}</math>

尽管两个集合有不同的表示，它们仍可能是相同的。比如：上述集合中，<math>A=C</math>而<math>B=D</math>，因为它们正好有相同的元素。

元素列出的顺序不同，或者元素列表中有重复，都和集合相同與否没有关系。比如：这三个集合<math>\left \{ 2,4 \right \}</math>，<math>\left \{ 4,2 \right \}</math>和<math>\left \{ 2,2,4,2 \right \}</math>是相同的，因为它们有相同的元素。

* 集合在不严格的意义下也可以通过草图来表示，更多信息，请见[[文氏图]]。

== 集合间的关系 ==
=== 子集与包含关系 ===
{{main|子集}}[[File:Venn_A_subset_B.svg|链接=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Venn_A_subset_B.svg|缩略图|{{center|B的子集A}}]]

==== 定义 ====
集合<math>A</math>、<math>B</math>，若<math>\forall a\in A</math>，有<math>a\in B\therefore A\subseteq B</math>。则称<math>A</math>是<math>B</math>的'''子集'''，亦称<math>A</math>'''包含于'''<math>B</math>，或<math>B</math>'''包含'''<math>A</math>，记作<math>A\subseteq B</math>或<math>B\supseteq A</math>，否则称<math>A</math>不是<math>B</math>的子集，记作<math>A\nsubseteq B</math>或<math>B\nsupseteq A</math>。

若<math>A\subseteq B</math>，且<math>A\neq B</math>，则称<math>A</math>是<math>B</math>的'''真子集'''，亦称<math>A</math>'''真包含于'''<math>B</math>，或<math>B</math>'''真包含'''<math>A</math>，记作<math>A\subsetneqq B</math>或<math>B\supsetneqq A</math>（有时也记作<math>A\subset B</math>或<math>B\supset A</math>）。

==== 基本性质 ====
*包含关系“<math>\subseteq</math>”是集合间的一个'''[[偏序关系#非严格偏序，自反偏序|非严格偏序关系]]'''，因为它有如下性质：
**'''自反性'''：<math>\forall</math>集合<math>S</math>，<math>S\subseteq S</math>；（任何集合都是其本身的子集）
**'''反对称性'''：<math>A\subseteq B</math>且<math>B\subseteq A \Leftrightarrow A=B</math>；（这是证明两集合相等的常用手段之一）
**'''传递性'''：<math>A\subseteq B</math>且<math>B\subseteq C\Rightarrow A\subseteq C</math>；
*真包含关系“<math>\subsetneqq</math>”是集合间的一个'''[[偏序关系#严格偏序，反自反偏序|严格偏序关系]]'''，因为它有如下性质：
**'''反自反性'''：<math>\forall</math>集合<math>S</math>，<math>S\subsetneqq S</math>都不成立；
**'''非对称性'''：<math>A\subsetneqq B\Rightarrow B\subsetneqq A</math>不成立；反之亦然；
**'''传递性'''：<math>A\subsetneqq B</math>且<math>B\subsetneqq C\Rightarrow A\subsetneqq C</math>；
*显然，包含关系，真包含关系定义了集合间的[[偏序关系]]。而<math>\varnothing</math>是这个偏序关系的'''最小元素'''，即：<math>\forall</math>集合<math>S</math>，<math>\varnothing \subseteq S</math>；且若<math>S\neq \varnothing</math>，则<math>\varnothing\subsetneqq S</math>，（空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）

==== 举例 ====

:* 所有男人的集合是所有人的集合的[[真子集]]。
:* 所有自然数的集合是所有[[整数]]的集合的[[真子集]]。
:*<math>\left \{ 1,3 \right \}\subsetneqq\left \{ 1,2,3,4 \right \}</math>
:*<math>\left \{ 1,2,3,4 \right \}\subseteq\left \{ 1,2,3,4 \right \}</math>

== 运算 ==
=== 併 ===
{{main|聯集}}

两个集合可以相"加"。<math>A</math>和<math>B</math>的'''聯集'''是将<math>A</math>和<math>B</math>的元素放到一起构成的新集合。

==== 定义 ====
给定集合<math>A</math>，<math>B</math>，定义运算<math>\cup</math>如下：<math>A\cup B=\{e|e\in A</math>或<math>e\in B\}</math>。<math>A\cup B</math>称为<math>A</math>和<math>B</math>的'''聯集'''。

[[File:Set union.png|thumb|A 和 B 的聯集]]

==== 示例 ====

:*<math>\{1,2\}\cup \{</math>红色<math>,</math>白色<math>\}=\{1,2,</math>红色<math>,</math>白色<math>\}</math>
:*<math>\{1,2,</math>绿色<math>\}\cup \{</math>红色<math>,</math>白色<math>,</math>绿色<math>\}=\{1,2,</math>红色<math>,</math>白色<math>,</math>绿色<math>\}</math>
:*<math>\left \{ 1,2 \right \}\cup \left \{ 1,2 \right \}=\left \{ 1,2 \right \}</math>

==== 基本性质 ====
作为集合间的二元运算，<math>\cup</math>运算具有以下性质。
*'''[[交换律]]'''：<math>A\cup B=B\cup A</math>；
*'''[[结合律]]'''：<math>\left ( A\cup B \right )\cup C=A\cup\left ( B\cup C \right )</math>；
*'''[[幂等律]]'''：<math>A\cup A=A</math>；
*'''[[幺元]]'''：<math>\forall</math>集合<math>A</math>，<math>A\cup\varnothing=A</math>；（<math>\varnothing</math>是<math>\cup</math>运算的幺元）。

=== 交 ===
{{main|交集}}

一个新的集合也可以通过两个集合'''均'''有的元素来构造。<math>A</math>和<math>B</math>的'''交集'''，写作<math>A\cap B</math>，是既属于<math>A</math>的、又属于<math>B</math>的所有元素组成的集合。

若<math>A\cap B=\varnothing</math>，则<math>A</math>和<math>B</math>称作'''不相交'''。

[[File:Set intersection.png|thumb|A 和 B 的交集]]

==== 定义 ====
给定集合<math>A</math>、<math>B</math>，定义运算<math>\cap</math>如下：<math>A\cap B=\{e|e\in A</math>且<math>e\in B\}</math>。<math>A\cap B</math>称为<math>A</math>和<math>B</math>的'''交集'''。

==== 基本性质 ====
作为集合间的二元运算，<math>\cap</math>运算具有以下性质。

*'''[[交换律]]'''：<math>A\cap B=B\cap A</math>；
*'''[[结合律]]'''：<math>(A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)</math>；
*'''[[幂等律]]'''：<math>A\cap A=A</math>；
*'''[[空集合]]'''：<math>\forall</math>集合<math>A</math>，<math>A\cap\varnothing=\varnothing</math>；（<math>\varnothing</math>是<math>\cap</math>运算的空集合）。
其它性质还有：
*<math>A\subseteq B\Rightarrow A\cap B=A</math>

==== 示例 ====

:*<math>\{1,2\}\cap\{</math>红色<math>,</math>白色<math>\}=\varnothing</math>
:*<math>\{1,2,</math>绿色<math>\}\cap\{</math>红色<math>,</math>白色<math>,</math>绿色<math>\}=\{</math>绿色<math>\}</math>
:*<math>\{1,2\}\cap\{1,2\}=\{1,2\}</math>

=== 补集 ===
{{main|差集}}

两个集合也可以相"减"。<math>A</math>在<math>B</math>中的'''相对补集'''，国际上通常写作 <math>B\setminus A</math>，中文教材中有时也会写作<math>B-A</math>。表示属于<math>B</math>的、但不属于<math>A</math>的所有元素组成的集合。

在特定情况下，所讨论的所有集合是一个给定的[[全集]]<math>U</math>的子集。这样， <math>U-A</math>称作<math>A</math>的'''绝对补集'''，或简称'''补集'''（餘集），写作<math>A'</math>或<math>\complement_UA</math>。

[[File:Set difference.svg|thumb|相对补集 A - B]]

补集可以看作两个集合相减，有时也称作'''差集'''。

==== 定义 ====
给定集合<math>A</math>，<math>B</math>，定义运算-如下：<math>A-B=\{e|e\in A</math>且<math>e\not\in B\}</math>。<math>A-B</math>称为<math>B</math>对于<math>A</math>的'''差集'''，'''相对补集'''或'''相对餘集'''。

在上下文确定了'''全集'''<math>U</math>时，对于<math>U</math>的某个子集<math>A</math>，一般称<math>U-A</math>为<math>A</math>（对于<math>U</math>）的'''补集'''或'''余集'''，通常记为<math>A'</math>或<math>\bar{A}</math>，也有记为<math>A^\text{c}</math>, <math>A'</math>, <math>\complement_U A</math>，以及<math>\complement A</math>的。

==== 基本性质 ====
作为集合间的二元运算，- 运算有如下基本性质：
*<math>A-A=\varnothing</math>；
*'''右[[幺元]]'''：<math>\forall</math>集合<math>A</math>，<math>A-\varnothing=A</math>；（<math>\varnothing</math>是<math>-</math>运算的右幺元）。
*'''左{{le|零元|Zero element}}'''：<math>\forall</math>集合<math>A</math>，<math>\varnothing-A=\varnothing</math>；（<math>\varnothing</math>是<math>-</math>运算的左零元）。

==== 示例 ====

:*<math>\{1,2\}-\{</math>红色<math>,</math>白色<math>\}=\{1,2\}</math>
:*<math>\{1,2,</math>绿色<math>\}-\{</math>红色<math>,</math>白色<math>,</math>绿色<math>\}=\{1,2\}</math>
:*<math>\{1,2\}-\{1,2\}=\varnothing</math>
:* 若<math>U</math>是整数集，则奇数的补集是偶数

=== 對稱差 ===
{{main|对称差}}

==== 定义 ====
给定集合<math>A</math>，<math>B</math>，定义'''对称差'''运算<math>\vartriangle</math>如下：<math>A\vartriangle B=(A-B)\cup(B-A)</math>。

==== 基本性质 ====
作为集合间的二元运算，<math>\vartriangle</math>运算具有如下基本性质：
*'''[[交换律]]'''：<math>A\vartriangle B=B\vartriangle A</math>；
*'''[[结合律]]'''：<math>(A\vartriangle B)\vartriangle C=A\vartriangle (B\vartriangle C)</math>；
*'''[[幺元]]'''：<math>\forall</math>集合<math>A</math>，<math>A\vartriangle\varnothing =A</math>；（<math>\varnothing</math>是<math>\vartriangle</math>运算的幺元）。
*'''[[逆元]]'''：<math>A\vartriangle A=\varnothing</math>；

==运算性质==
集合的运算除了以上情况之外，集合间还具有以下运算性质：
*'''[[分配律]]''':
:<math>A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)</math>
:<math>A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)</math>

*'''[[对偶律]]''':
:<math>\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}</math>
:<math>\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}</math>

== 集合的元素个数 ==
{{main|基数 (数学)}}

上述每一个集合都有确定的元素个数；比如：集合 ''A'' 有三个元素、而集合 ''B'' 有四个。一个集合中元素的数目称为该集合的[[基数 (数学)|基数]]。[[數學寫法]]有很多種，不同作者及不同書本用不同的寫法:  <math>\operatorname{Card}(A),\ \# A,\ |A|,\ \bar{A},\ \bar{\bar{A}}</math>。

集合可以没有元素。这样的集合叫做'''空集'''，用 <math>\{\}</math> 或符号<math>\varnothing</math>表示。比如：集合<math>A</math>是2004年所有住在月球上的人，它没有元素，则<math>A=\varnothing</math>。在数学上，空集非常重要。更多資訊請參閱[[空集]]。

如果集合只含有限个元素，那么这个集合可以称为'''[[有限集合]]'''。

集合也可以有无穷多个元素，這樣的集合称为'''[[无限集合]]'''。比如：自然数集便是无限集合。关于无穷大和集合的大小的其他資訊请见集合的[[势_(数学)|势]]。

== 公理化集合论 ==
{{main|公理化集合论}}
若把集合看作“符合任意特定性質的一堆東西”，會得出所謂[[罗素悖论]]。为解决[[罗素悖论]]，數學家提出[[公理化集合论]]。在公理集合论中，集合是一个不加定义的概念。

== 類 ==

在更深層的[[公理化数学]]中，'''集合'''仅仅是一种特殊的[[类 (数学)|'''类''']]，是“良性类”，是能够成为其它类的元素的类。

类区分为两种：一种是可以顺利进行类运算的“'''良性类'''”，这种“良性类”称为'''集合'''；另一种是要限制运算的“'''本性类'''”，对于本性类，类运算并不是都能进行的。

'''定义''' 类A如果满足条件“<math>\exists B(A\in B)</math>”，则称类A为一个'''<u>集合</u>'''(简称为'''集''')，记为<math>\operatorname{Set}(A)</math>。否则称为'''本性类'''。

这说明，一个集合可以作为其它类的元素，但一个本性类却不能成为其它类的元素。因此可以理解为“本性类是最高层次的类”。

== 参见 ==
{{mathportal}}
* [[公理化数学]]
* [[类的理论]]
* [[集合代数]]

== 参考文献 ==
{{reflist}}
{{refbegin}}
* Dauben, Joseph W., ''Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite'', Boston: [[Harvard University Press]] (1979) ISBN 978-0-691-02447-9.
* [[Paul Halmos|Halmos, Paul R.]], ''Naive Set Theory'', Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6.
* Stoll, Robert R., ''Set Theory and Logic'', Mineola, N.Y.: {{tsl|en|Dover Publications}} (1979) ISBN 0-486-63829-4.
{{refend}}

{{数理逻辑}}
{{集合论}}
{{Authority control}}

[[Category:集合论|J]]
[[Category:數學物件]]
[[Category:邏輯概念]]